Dificultad para entender los módulos primarios

Question

He leído que cualquier submódulo irreducible $I$ de un módulo noetheriano $M$ es primario. Sin embargo, si dejamos que $M = \mathbb{Z}_8$ y $I = \mathbb{4Z}_8$ esto no es cierto, porque $I$ es irreducible, y $2(M/I) = 2(\mathbb{Z}_4) = \mathbb{Z}_2$ . Por tanto, la multiplicación por 2 no es inyectiva ni nilpotente. ¿Cómo puede ser esto?

Answer 1

Por lo que veo la multiplicación por $2$ es nilpotente ya que $4(M/I)=0$ .