Cerrar $M=\{\:x(t)\in{L_2}_{[1,\infty)}:\int_{1}^{\infty}\frac{x(t)}{t}dt=0\:\}$ ?

Question

Demostrar que $M$ está cerrado en ${L_2}_{[1,\infty)}$

$$M=\left\{\:x(t)\in{L_2}_{[1,\infty)}:\int_{1}^{\infty}\frac{x(t)}{t}dt=0\:\right\}$$

Pensé en utilizar el teorema de Arzela-Ascoli para demostrar $M$ es compacto, entonces concluye que es cerrado. Sin embargo, no tengo idea de cómo abordar la equicuantidad en un conjunto como $M$ . Para demostrar que la función es equincontinua:

$$\delta>0\:,\:\epsilon>0,\qquad|t-t_0|<\delta\implies\|x(t)-X(t_0)\|_{{L_2}_{[1,\infty)}}<\epsilon\:\:\:\forall x(t)\in M$$

Pregunta:

1) ¿Cómo debo demostrar la equidad en este caso?

2) ¿Existen métodos alternativos? ¿Cuáles son?

Gracias de antemano.

Answer 1

Supongamos que $x_{n}\rightarrow x$ en $L^{2}[1,\infty)$ que $x_{n}\in M$ entonces \begin {align*} \left | \int_ {1}^{ \infty } \dfrac {x(t)}{t}dt \right |&= \left | \int_ {1}^{ \infty } \dfrac {x(t)-x_{n}(t)}{t}dt+ \int_ {1}^{ \infty } \dfrac {x_{n}(t)}{t}dt \right | \\ &= \left | \int_ {1}^{ \infty } \dfrac {x(t)-x_{n}(t)}{t}dt \right | \\ & \leq\left ( \int_ {1}^{ \infty } \dfrac {1}{t^{2}}dt \right )^{1/2}\|x_{n}-x\|_{L^{2}[1, \infty )} \\ & \rightarrow 0. \end {align*}

Answer 2

Déjalo: $$\phi:L^2 \to \Bbb R, f \mapsto \int_1^\infty \frac{f(t)}{t}$$ entonces $\phi$ es una forma lineal y $M=\ker(\phi)$ por lo que el cierre de $M$ es equivalente a la continuidad de $\phi$ .

Y por Cauchy-Swchartz: $$|\phi(f)| \leq \int_1^\infty \frac{1}{t} |f(t)| dt \leq \sqrt{ \int_1^\infty \frac{1}{t^2} dt}\sqrt{ \int_1^\infty |f(t)|^2 dt}=1 \times \|f\|_{L^2}$$ así que $\phi$ es continua.

(De hecho $\phi(f)=\left\langle t \mapsto \frac{1}{t} , f \right\rangle$ y $t \mapsto \frac{1}{t} \in L^2([1,+\infty))$ )

Answer 3

$f \in L^2[1,\infty) \mapsto \langle f,1/t\rangle_{L^2[1,\infty)}$ es una función continua, y estás viendo la imagen inversa del conjunto escalar cerrado $\{ 0\}$ bajo este funcional lineal continuo. Entonces, esta imagen inversa es cerrada, y ese es tu conjunto $M$ .