¿Tiene un operador lineal compacto en un espacio de Banach de dimensión infinita una inversa acotada?

Question

Supongamos que $X$ es un espacio de Banach de dimensión infinita, y $A$ es un operador lineal compacto de $X$ a $X$ . Si $A$ es invertible y $A^{-1}$ está acotado, entonces $A A^{-1}=I$ ( $I$ es el operador de identidad en $X$ ) es compacto, lo que es imposible según el lema de Riesz. De este modo demostramos que $A$ no tiene una inversa acotada. Mientras que, por otro lado, si $A$ es invertible, entonces $A^{-1}$ está efectivamente acotado según el Teorema del Operador Inverso. ¿Qué es lo que está mal?

Answer 1

No pasa nada. Lo que ocurre es que no hay operadores compactos invertibles de un espacio de Banach de dimensión infinita $X$ en sí mismo.

Answer 2

Un operador compacto $A$ definida en un espacio de dimensión infinita no tiene inversa, ya que la imagen de a la bola cerrada $B$ está contenido en un espacio compacto $C$ y si $A^{-1}$ está acotada (continua), $A^{-1}(C)$ es compacto, esto implica que $B\subset A^{-1}(C)$ es compacto, contradictorio.