¿Son efectivas las uniones binarias de monomorfismos regulares en categorías regulares?

Question

En presencia de pullbacks, la intersección de los subobjetos viene dada por su pullback. Cuando existe factorización de imágenes, la unión de subobjetos viene dada por la imagen de su coproducto. A veces, por ejemplo en las categorías abelianas y en los topoi, las uniones binarias son efectivo - la unión de dos subobjetos es el pushout del span obvio sobre su intersección.

Me preguntaba si las uniones binarias de monomorfismos regulares ¿eficaz en cualquier categoría regular?

Answer 1

No. Deja que $\mathscr{C}$ sea la categoría de los monoides y que $X$ sea un monoide no trivial. Sea $(X\times X,p_1,p_2)$ sea el producto de $X$ con ella misma y dejar que $i_1,i_2 : X\to X\times X$ sean los únicos morfismos tales que $p_1 i _1 = p_2 i_2 = 1_X$ y $p_1 i_2 = p_2 i_1 = 0$ (es decir, el morfismo que envía todo al elemento identidad). Escribir $0$ para el monoide trivial vemos que el diagrama $$\require{AMScd} \begin{CD} 0 @>>> X\\ @V_{}VV @VV{i_2}V \\ X @>>{i_1}> X\times X \end{CD}$$ es un retroceso. Sin embargo, el diagrama anterior no es un pushout, ya que los productos y coproductos de los monoides no coinciden. Esto responde a la pregunta anterior ya que $i_1$ y $i_2$ siendo los monos divididos ciertamente regulares.