Filosofía detrás del trabajo de Mochizuki sobre la conjetura ABC

Question

Mochizuki ha anunciado recientemente una prueba de la conjetura ABC. Es demasiado pronto para juzgar su exactitud, pero se basa en muchos años de trabajo suyo. ¿Puede alguien explicar brevemente la filosofía de su trabajo y comentar por qué cabe esperar que arroje luz sobre cuestiones como la conjetura ABC?

Answer 1

Quiero señalar una información bibliográfica que quizás no es muy conocida y que puede ser tomada como "evidencia" de la posibilidad de aplicar la geometría anabeliana a la conjetura ABC con éxito. Sin embargo, no pretendo que esto esté relacionado de alguna manera con el trabajo de Mochizuki.

Este es el hecho: Hay una $\pi_1$ prueba de la conjetura del campo de funciones de Szpiro (sobre los números complejos, por lo que sé). La prueba es efectivamente fácil y conceptualmente clara, puedes encontrar una buena exposición de la misma en algún artículo (expositivo) de Zhang, cuyo título se ha perdido en algún lugar de mis recuerdos. (EDIT: el artículo es "Geometría de los puntos algebraicos").

De todos modos, puedo decirle cuál es el punto clave del argumento. Sea E una fibración elíptica sobre la recta proyectiva L sobre los números complejos. Supongamos que E tiene sólo reducción mala multiplicativa. Se puede leer el orden del discriminante en un punto de L a partir del tipo Kodaira de la fibra, que a su vez se puede recuperar en términos de representaciones de monodromía del grupo fundamental de L menos los puntos con fibras malas: las fibras lisas tienen monodromía trivial, y la monodromía de las fibras singulares está determinada por los giros de Dehn (suponiendo reducción multiplicativa). Se pueden mirar todas estas representaciones locales a la vez, después de elegir bucles para enlazar los puntos malos con algún punto genérico p de L y luego estudiar la imagen de la representación global de la monodromía en la homología de la fibra por encima de p. Eligiendo bucles adecuadamente se obtiene la relación conmutadora habitual que en la imagen de la representación global da una relación R=1 entre los generadores de las representaciones locales (y ellos "saben" cuál es el discriminante). Aquí todo está dentro de $SL_2(Z)=Aut(Z^2)=Aut(H_1(E_p,Z))$ que actúa sobre el plano real, y hasta escalares actúa sobre la recta real proyectiva cuya cobertura universal ya conoces (sí, la recta real). Se puede elevar la relación R=1 a una relación entre automorfismos de la recta real para obtener una relación R'=1' donde ahora 1' conoce el número de términos que aparecen en R, es decir, el número de fibras singulares, que es el conductor de E en este entorno. Entonces el límite de Szpiro se puede recuperar a partir de la relación R'=1'.

Y ahí tienes, una demostración sin derivadas de la conjetura de Szpiro para campos de funciones (un poco chocante al menos para mí la primera vez que la vi). Toda la información diofántica la proporcionan los grupos fundamentales.

Answer 2

¡¡¡NUEVO !!! (2013-02-21)

Una visión panorámica de la teoría interuniversal de Teichmüller Teoría Por Shinichi Mochizuki

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Panoramic%20Overview%20of%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf