Filosofía detrás del trabajo de Mochizuki sobre la conjetura ABC

Question

Mochizuki ha anunciado recientemente una prueba de la conjetura ABC. Es demasiado pronto para juzgar su exactitud, pero se basa en muchos años de trabajo suyo. ¿Puede alguien explicar brevemente la filosofía de su trabajo y comentar por qué cabe esperar que arroje luz sobre cuestiones como la conjetura ABC?

Answer 1

Habría preferido no comentar seriamente el trabajo de Mochizuki antes de haber reflexionado mucho más sobre los fundamentos, pero a juzgar por la actividad en Internet, parece haber mucho interés en este tema, especialmente por parte de los jóvenes. Evidentemente, estaría muy bien que se comprometieran con este círculo de ideas, independientemente de la situación final del resultado principal de interés. Es decir, la actual sensación de urgencia por entender algo parece en general algo bueno. Así que pensé en hacer la introducción más endeble imaginable en esta etapa. Por otra parte, como ocurre con muchas de mis respuestas, existe el peligro de que me limite a regurgitar conocimientos comunes de forma prolija, en cuyo caso pido disculpas.

Para quien quiera ponerse en marcha de verdad, recomiendo como punto de partida cierta familiaridad con dos artículos, 'The Hodge-Arakelov theory of elliptic curves (HAT)' y 'The Galois-theoretic Kodaira-Spencer morphism of an elliptic curve (GTKS)'. [Se ha señalado aquí y allá que los documentos 'Survey of Hodge Arakelov Theory I,II' podrían ser alternativas razonables] [Acabo de examinarlos de nuevo, y realmente podrían ser la mejor manera de empezar]. Estos documentos se apartan bastante poco del lenguaje conocido, son requisitos esenciales para la serie actual sobre IUTT, y le llevarán un largo camino hacia la comprensión, al menos, de la motivación detrás de los imponentes trabajos recopilados de Mochizuki. Esta era la impresión que tenía de las conversaciones mantenidas hace seis años, y luego el propio Mochizuki acaba de señalarme la página 10 de IUTT I, donde se explica exactamente esto. El objetivo de la presente respuesta es descifrar un poco esos pocos párrafos.

El inicio de la investigación es, efectivamente, el caso del campo de funciones (sobre $\mathbb{C}$ para simplificar), donde se da una familia $$f:E \rightarrow B$$ de curvas elípticas sobre una base compacta, que se supone mejor que sea semiestable y no isotrivial. Existe una secuencia exacta $$0\rightarrow \omega_E \rightarrow H^1_{DR}(E) \rightarrow H^1(O_E)\rightarrow0,$$ que se mueve por la conexión logarítmica Gauss-Manin de la familia. (Espero que se me perdone por utilizar la notación estándar y no óptima sin explicación en esta nota). Es decir, si $S\subset B$ es el conjunto finito de imágenes de las fibras malas, existe una conexión logarítmica $$H^1_{DR}(E) \rightarrow H^1_{DR}(E) \otimes \Omega_B(S),$$ que no conserva $\omega_E$ . Este hecho es crucial, ya que conduce a una $O_B$ -Mapa lineal Kodaira-Spencer $$KS:\omega \rightarrow H^1(O_E)\otimes \Omega_B(S),$$ y de ahí a un mapa no trivial $$\omega_E^2\rightarrow \Omega_B(S).$$ De aquí se deduce fácilmente la desigualdad de Szpiro: $$\deg (\omega_E) \leq (1/2)( 2g_B-2+|S|).$$ En el nivel más sencillo, se podría decir que el programa de Mochizuki se ha ocupado de replicar este argumento sobre un campo de números $F$ . Como tiene que ver con la diferenciación en $B$ , que finalmente se convierte en $O_F$ alguna conexión filosófica con $\mathbb{F}_1$ -teoría comienza a aparecer. Seguiré utilizando la misma notación que antes, excepto que ahora $B=Spec(O_F)$ .

Una gran parte de HAT se ocupa exactamente de la configuración necesaria para poner en práctica esta idea, donde, a grandes rasgos, la acción de Galois tiene que desempeñar el papel de la conexión GM. Evidentemente, $G_F$ no actúa sobre $H^1_{DR}(E)$ . Pero actúa sobre $H^1_{et}(\bar{E})$ con varios coeficientes. La comparación entre estas dos estructuras es el tema de $p$ -La teoría de Hodge, que lamentablemente sólo funciona en campos locales y no en uno global. Pero Mochizuki observó hace tiempo que algo como $p$ -la teoría de Hodge debe ser un ingrediente clave porque sobre $\mathbb{C}$ el isomorfismo de comparación $$H^1_{DR}(E)\simeq H^1(E(\mathbb{C}), \mathbb{Z})\otimes_{\mathbb{Z}} O_B$$ nos permite recuperar completamente la conexión GM mediante la condición de que la cohomología topológica genera las secciones planas.

Para obtener un análogo aritmético global, Mochizuki tiene que formular un discreto no lineal versión del isomorfismo de comparación. ¿Qué es la no linealidad? Es la sustitución de $H^1_{DR}$ por la extensión universal $$E^{\dagger}\rightarrow E,$$ (el espacio de moduli de los haces de líneas con conexión plana en $E$ ) cuyo espacio tangente es $H^1_{DR}$ (consideraciones de esta naturaleza ya aparecen en la teoría de Hodge p-ádica habitual). Lo que es discreto es la cohomología \'etale, que será simplemente $E[\ell]$ con acción global de Galois, donde $\ell$ puede llegar a ser grande, del orden de la altura de $E$ (es decir $\deg (\omega_E)$ ). El isomorfismo de comparación en este contexto toma la siguiente forma: $$\Xi: A_{DR}=\Gamma(E^{\dagger}, L)^{<\ell}\simeq L|E[\ell]\simeq (L|e_{E})\otimes O_{E[\ell]}.$$ (Me disculpo por utilizar la notación $A_{DR}$ para el espacio que Mochizuki denota con una caligrafía $H$ . No puedo escribir caracteres caligráficos aquí). Aquí, $L$ es un haz de líneas convenientemente elegido de grado $\ell$ en $E$ , que luego puede ser retirado a $E^{\dagger}$ . La desigualdad se refiere al grado polinómico en la dirección de la fibra de $E^{\dagger} \rightarrow E$ . El isomorfismo se realiza mediante la evaluación de las secciones en $$E^{\dagger}[\ell]\simeq E[\ell].$$ Finalmente, $$ L|E[\ell]\simeq (L|e_{E})\otimes O_{E[\ell]}$$ proviene de la teoría de las funciones theta de Mumford. La interpretaci'on del enunciado es que da un isomorfismo entre el espacio de funciones de alg'un grado de fibra acotado sobre cohomolog'ıa no lineal y el espacio de funciones sobre cohomolog'ıa discreta. Este tipo de afirmación se debe enteramente a Mochizuki. A veces se habla de $p$ -ádica de Hodge con coeficientes finitos, pero que se refiere a una teoría que no sólo es local, sino que trata de la cohomología lineal de De Rham con coeficientes finitos.

Ahora, algunas correcciones: Como se ha dicho, el isomorfismo no es verdadero, y debe ser modificado en los lugares de mala reducción, los lugares que dividen $\ell$ y los infinitos lugares. Esta corrección ocupa una parte importante del documento HAT. Es decir, el isomorfismo es genéricamente verdadero sobre $B$ pero para que se cumpla en todas partes, las estructuras integrales deben modificarse de forma sutil y muy interesante, mientras que hay que considerar también una comparación de métricas, ya que éstas figurarán obviamente en un análogo aritmético de la conjetura de Szpiro. La corrección en los lugares malos finitos puede interpretarse a través de las coordenadas cercanas al infinito en la pila de moduli de las curvas elípticas como el sutil fenómeno al que Mochizuki se refiere como "polos gaussianos" (en la coordenada $q$ ). Como esta es una introducción superficial, baste decir por ahora que estos polos gaussianos acaban siendo un obstáculo importante en esta parte de la teoría de Mochizuki.

A pesar de esto, vale la pena dar al menos una pequeña muestra del mapa KS galois-teórico de Mochizuki. La cuestión es que $A_{DR}$ tiene una filtración de Hodge definida por

$F^rA_{DR}= \Gamma(E^{\dagger}, L)^{ < r} $

(la dirección es poco convencional), y esto se mueve por la acción de Galois inducida por el isomorfismo de comparación. Así se consigue un mapa $$G_F\rightarrow Fil (A_{DR})$$ en algún espacio de filtraciones sobre $A_{DR}$ . Esto es, en esencia, el mapa KS de la teoría de Galois. Es decir, si consideramos la equivalencia sobre $\mathbb{C}$ de $\pi_1$ -acciones y conexiones, el mapa KS habitual mide la medida en que la conexión GM se mueve alrededor de la filtración de Hodge. Aquí, estamos midiendo el mismo tipo de movimiento para el $G_F$ -acciones.

Esto ya es muy bonito, pero ahora viene una variante muy importante, esencial para entender la motivación de los papeles del IUTT. En el documento GTKS, Mochizuki modificó este mapa, produciendo en su lugar una versión "lagrangiana". Es decir, asumió la existencia de un subespacio galois-estable lagrangiano $G^{\mu}\subset E[l]$ dando lugar a otro isomorfismo $$\Xi^{Lag}:A_{DR}^{H}\simeq L\otimes O_{G^{\mu}},$$ donde $H$ es un complemento lagrangiano de $G^{\mu}$ que, en mi opinión, no necesita ser ser estable de Galois. $H$ está actuando en el espacio de las secciones, de nuevo a través de la teoría de Mumford. Esto se puede utilizar para obtener otro morfismo KS a las filtraciones en $A_{DR}^{H}$ . Pero el punto clave es que

$\Xi^{Lag}$ En contraste con $\Xi$ está libre de los polos gaussianos

a través de un argumento que no recuerdo bien (si es que alguna vez lo supe).

En este punto, podría ser razonable ver si $\Xi^{Lag}$ contribuye a una versión de la desigualdad de Szpiro (después de mucho trabajo e interpretación), salvo un pequeño problema. Un subespacio como $G^{\mu}$ no tiene razón de ser en general. Por ello, GTKS trata principalmente de la curva elíptica universal sobre una terminación formal cercana a $\infty$ en la pila de moduli de las curvas elípticas, donde sí existe tal espacio. Lo que Mochizuki explica en la página 10 de IUTT es exactamente que la motivación teórica del esquema de IUG era permitir el paso a una única curva elíptica sobre $B=Spec(O_F)$ a través del caso intermedio de una curva elíptica "en posición general".

Para repetir:

Una buena teoría "no singular" del mapa KS sobre campos numéricos requiere un lagrangiano global de Galois invariante del subespacio lagrangiano $G^{\mu}\subset E[l]$ .

Una idea ingenua podría ser simplemente cambiar la base al campo generado por el $\ell$ -torsión, salvo que entonces se perdería la acción de Galois que se esperaba utilizar. (Recordemos que la desigualdad de Szpiro se supone que viene de moviendo la filtración de Hodge dentro de la cohomología de De Rham). Por otro lado, dicho subespacio suele existir localmente por ejemplo, en un lugar de mala reducción. Así que cabe preguntarse si hay una forma de ampliar globalmente esos subespacios locales.

Me parece que esta es una de las claves de los documentos IUTT I-IV. Como dice en loc. cit. trabaja con varias categorías de colecciones de objetos locales que simular objetos globales. Es crucial en este proceso que muchos de los objetos usuales objetos teóricos del esquema, locales o globales, se codifiquen como categorías adecuadas con una estructura combinatoria rica y precisa. Los detalles aquí se complican mucho, la codificación de un esquema en categoría de Galois asociada de coberturas finitas \'etale siendo simplemente el caso trivial. Por ejemplo, cuando uno quiere codificar los datos arquimedianos procedentes de un esquema aritmético (que, de nuevo, será claramente necesario para la conjetura de Szpiro), el intento de llegar a una categoría de del mismo orden de complejidad que una categoría de Galois da lugar a la noción de Frobenioid . Ya que estos juegan un papel bastante central en la teoría de Mochizuki, citaré brevemente su primer artículo de Frobenioid:

'Los frobenioides proporcionan un marco único [véase la noción de "categoría de Galois"; el papel de los monoides en la geometría logarítmica] que permite captar los aspectos esenciales de de Galois y de la teoría de los divisores de los campos de números, por un lado, y de los campos de por otro, de manera que se pueda seguir trabajando, por ejemplo, con grados globales de haces de líneas aritméticas en un campo de números, pero que también presenta el nuevo fenómeno [no presente en la teoría clásica de los campos numéricos] de un "endomorfismo de Frobenius endomorfismo" del Frobenioide asociado a un campo numérico.'

Creo que el Frobenioide asociado a un campo numérico es algo cercano a las coberturas finitas \'etale de $Spec(O_F)$ (equipados con alguna estructura de registro) junto con haces de líneas metrizadas en ellos, aunque es probablemente más complicado. El endomorfismo de Frobenio para un primo $p$ es entonces algo así como el functor que sólo eleva los paquetes de líneas al $p$ -ésima potencia. Este es un functor que vendría de un mapa de esquemas si estuviéramos trabajando en la característica $p$ pero obviamente no en la característica cero. Pero esto es parte de la razón para empezar a codificar en categorías:

Obtenemos más morfismos y equivalencias.

Algunos de ustedes notarán en este punto la analogía con desarrollos en geometría algebraica donde las variedades se codifican en categorías como la categoría derivada de las láminas coherentes. Allí también hay teoremas de reconstrucción reconstrucción del tipo Orlov, así como el fenómeno de los morfismos no geométricos de las categorías (digamos acciones de grupos de trenzas). Los morfismos no geométricos parecen ser muy importantes en la teoría de Mochizuki, como el Frobenius anterior, que nos permite simular la característica $p$ geometría en la característica cero. Otro ejemplo ilustrativo importante es un isomorfismo no geométrico entre grupos de Galois de campos locales (que no puede existir para campos globales debido al teorema de Neukirch-Uchida). De hecho, creo que a Mochizuki le gustaba mucho el comentario de Ihara de que la prueba positiva de la conjetura anabeliana era un poco decepcionante, ya que ya que destruye la posibilidad de que la codificación de las curvas en sus grupos grupos fundamentales dé lugar a una categoría más rica. De todos modos, creo que la importancia de los mapas no geométricos de las categorías que codifican objetos más bien convencionales es que

nos permiten pegar varias categorías estándar categorías estándar de forma no estándar.

Obviamente, para jugar bien a este juego, algunas cosas deben codificarse de forma rígida, mientras que otras deben tener codificaciones más flexibles.

Para un ejemplo muy simple que da sólo un vistazo a la teoría general, se puede considerar una categoría de pares $$(G,F),$$ donde $G$ es un grupo topológico profinito de un cierto tipo y $F$ es una filtración sobre $G$ . Es posible escribir condiciones explícitas que aseguren que $G$ es el grupo de Galois de un campo local y $F$ es su filtración de ramificación en la numeración superior (en realidad, ahora que lo pienso, no estoy seguro de las "condiciones explícitas" para la parte de la filtración, pero de todos modos). Además, es un teorema de Mochizuki y Abrashkin que el functor que lleva un campo local al correspondiente es totalmente fiel. Así que ahora se pueden considerar las triplas $$(G,F_1, F_2),$$ donde $G$ es un grupo y el $F_i$ son dos filtraciones del tipo adecuado. Si $F_1=F_2$ entonces esto "es" sólo un campo local. Pero ahora puedes tener objetos con $F_1\neq F_2$ que corresponden a extrañas amalgamas de dos campos locales.

Como otro ejemplo, se podría tomar un objeto global habitual, como $$ (E, O_F, E[l], V)$$ (donde $V$ denota una colección de valoraciones de $F(E[l])$ que restringen bijetivamente a las valoraciones $V_0$ de $F$ ), y asociarle una colección de categorías locales indexadas por $V_0$ (algo así como los Frobenioides correspondientes al $E_v$ para $v\in V_0$ ). A continuación, se puede intentar pegarlas de manera no estándar a lo largo de subcategorías, después de realizar una serie de transformaciones no estándar. Mi impresión aproximada en este momento es que los "teatros de Hodge" surgen de esta manera. [Sin duda, se trata de una simplificación excesiva, que corregiré en posteriores modificaciones]. en posteriores enmiendas]. Además, podría imaginar que alguna construcción de este tipo acabará conservando los datos necesarios para obtener la altura de $E$ pero también tienen datos correspondientes a la $G^{\mu}$ , necesario para el mapa lagrangiano KS. En cualquier caso, espero que puedas apreciar que una buena parte del "desmantelamiento" y "reconstrucción", lo que Mochizuki llama cirugía Será necesario.

No puedo enfatizar lo suficiente que mucho de lo que escribo se basa en memoria defectuosa y conjeturas. En el mejor de los casos, es superficial, mientras que en el peor, está (ni siquiera) equivocado. [No puedo enfatizar lo suficiente que mucho de lo que escribo se basa en memoria defectuosa y conjeturas. En el mejor de los casos, es superficial, mientras que en el peor, es (ni siquiera) erróneo. [ En particular, ya no estoy seguro de que el mapa GTKS se utilice de forma totalmente directa. ] Todavía no he hecho nada con los documentos actuales más que echarles un vistazo superficial. Si averiguo algo más en las próximas semanas, haré correcciones. Pero mientras tanto, espero que lo que he escrito aquí sea más útil que engañoso.

Permítanme hacer una observación sobre la teoría de conjuntos, de la que no sé casi nada. Incluso en los trabajos más sencillos de la geometría aritmética, a veces se plantea la cuestión del axioma del universo de Grothendieck, sobre todo porque los universos parecen utilizarse en SGA4. Por lo general, los teóricos de los números (como yo) no entienden ni se preocupan por estas cuestiones fundamentales, y las preguntas al respecto suelen ser respondidas con un encogimiento de hombros. preguntas sobre ellas se responden con un encogimiento de hombros. La sabiduría convencional, por supuesto, es que cualquiera de los habituales teoremas y pruebas que implican teorías de cohomología de Grothendieck o topoi no se basan realmente en la existencia de universos, salvo que la pereza general nos permite insertar alguna referencia que eventualmente siga un rastro hasta SGA4. Sin embargo, este no parece ser el caso de el documento de Mochizuki. Es decir, los universos y las interacciones entre ellos parecen ser actores importantes más que conveniencias. Cómo se produce esto realmente, y si es necesario algo más que el axioma del universo para los argumentos, realmente no entiendo todavía lo suficiente como para decirlo. En cualquier caso, para un teórico de los números o un geómetra algebraico, supongo que sigue siendo prudente adquirir una sensación razonable de los antecedentes y motivaciones "habituales" (es decir, HAT, GTKS y cosas anabelianas) antes de preocuparse demasiado por cuestiones más profundas de la teoría de conjuntos.

Answer 2

Voy a intentar responder a esta controvertida pregunta de forma que pueda satisfacer al candidato y beneficiar a la comunidad matemática. También quiero dar algunas opiniones que contrasten o al menos complementen a grp. Al igual que otros, debo dar las advertencias: No entiendo la supuesta prueba de Mochizuki, ni su otro trabajo, y no hago ninguna afirmación sobre la veracidad de su trabajo reciente.

En primer lugar, algunos antecedentes que podrían satisfacer al PO. Durante años, Mochizuki ha estado trabajando en cosas relacionadas con el programa anabelino de Grothendieck. He aquí por qué uno podría esperar que esto sea útil para atacar problemas como el ABC:

Comience con el teorema de Neukirch-Uchida. Véase "Über die absoluten Galoisgruppen algebraischer Zahlkörper", de J. Neukirch, Journées Arithmétiques de Caen (Univ. Caen, Caen, 1976), pp. 67-79. Asterisque, nº 41-42, Soc. Math. France, París, 1977. También "Isomorphisms of Galois groups", por K. Uchida, J. Math. Soc. Japan 28 (1976), no. 4, 617-620.

El principal resultado de estos trabajos es que un campo numérico está determinado por su grupo de Galois absoluto en el siguiente sentido: fijar un cierre algebraico $\bar Q / Q$ y dos campos numéricos $K$ y $L$ en $\bar Q$ . Entonces, si $\sigma: Gal(\bar Q / K) \rightarrow Gal(\bar Q / L)$ es un isomorfismo topológico de grupos, entonces $\sigma$ se extiende a un interior automorfismo $Int(\tau): g \mapsto \tau g \tau^{-1}$ de $Gal(\bar Q / Q)$ . Así, $\tau$ conjuga el campo numérico $K$ al campo numérico $L$ y son isomorfas.

Así que mientras la teoría de campos de clases garantiza que el grupo de Galois absoluto $Gal(\bar Q / K)$ determina (la terminación profinita de) el grupo multiplicativo $K^\times$ el teorema de Neukirch-Uchida garantiza que toda la estructura del campo está determinada por la estructura del grupo profinito del grupo de Galois. La recuperación de aspectos de la estructura de campo de $K$ de la estructura de grupo profinita de $Gal(\bar Q / K)$ es un rincón difícil de la teoría de números.

A continuación, consideremos una curva (suave) $X$ en $Q$ ; supongamos que el grupo fundamental $\pi_1(X({\mathbb C}))$ es no abeliana. Sea $\pi_1^{geo}(X)$ sea la terminación profinita de este grupo no abeliano. Las propiedades básicas del grupo fundamental etale dan una secuencia exacta corta: $$1 \rightarrow \pi_1^{geo}(X) \rightarrow \pi_1^{et}(X) \rightarrow Gal(\bar Q / Q) \rightarrow 1.$$

Ahora bien, al igual que uno puede preguntarse por la recuperación de un campo numérico a partir de su grupo de Galois absoluto ( $Gal(\bar Q / K)$ es isomorfo a $\pi_1^{et}(K)$ ), se puede preguntar cuánto se puede recuperar sobre la curva $X$ de su grupo fundamental etale. Cualquier $Q$ -punto $x$ de $X$ es decir, el mapa de esquemas de $Spec(Q)$ a $Spec(X)$ da una sección $s_x: Gal(\bar Q / Q) \rightarrow \pi_1^{et}(X)$ .

Un caso de la famosa "conjetura de la sección" de Grothendieck afirma que esto da una biyección de $X(Q)$ al conjunto de homomorfismos $Gal(\bar Q / Q) \rightarrow \pi_1^{et}(X)$ dividiendo la secuencia exacta anterior. Se espera, de forma más general, recuperar la estructura de $X$ como una curva sobre $Q$ de la inducción exterior acción de $Gal(\bar Q / Q)$ en $\pi_1^{geo}(X)$ . (tomar un elemento $\gamma \in Gal(\bar Q / Q)$ Levántela para $\tilde \gamma \in \pi_1^{et}(X)$ y mira la conjugación del subgrupo normal $\pi_1^{geo}(X)$ por $\tilde \gamma$ bien definida hasta el automorfismo interno independientemente de la elevación).

Como en el caso del teorema de Neukirch-Uchida, existe un rincón activo y difícil de la teoría de números dedicado a recuperar propiedades de los puntos racionales de las curvas (hiperbólicas) a partir de los grupos fundamentales etale. He aquí dos problemas dramáticamente difíciles con el mismo espíritu:

1. ¿Cómo se puede describir el regulador de un campo numérico $K$ de la estructura del grupo profinito $Gal(\bar Q / K)$ ?

2. Dada una sección $s: Gal(\bar Q / Q) \rightarrow \pi_1^{et}(X)$ ¿cómo se puede describir la altura del punto correspondiente en $X(Q)$ ?

Yo situaría el trabajo de Mochizuki en este rincón anabelino de la teoría de números; siempre he mantenido una distancia segura y respetuosa con este rincón.

Ahora, para decir algo no tan antiguo que he recogido al hojear la obra reciente de Mochizuki:

Muchas personas aquí en MO y en otros lugares han seguido la investigación en el campo con un elemento. Es un objeto tentador de buscar, porque las analogías entre los campos de números y los campos de funciones se rompen rápidamente cuando te das cuenta de que no hay un "esquema base" debajo de $Spec(Z)$ . Pero yo veo el trabajo de Mochizuki como un enfoque anabelino de este problema, y trataré de describir mi comprensión de esto a continuación.

Consideremos una curva suave $X$ sobre un campo de funciones $F_p(T)$ . El enfoque anabelino sugiere mirar la secuencia corta exacta $$1 \rightarrow \pi_1^{et}(X_{\overline{F_p(T)}}) \rightarrow \pi_1^{et}(X) \rightarrow Gal(\overline{F_p(T)} / F_p(T)) \rightarrow 1.$$ Pero mucho más rentable es mirar en su lugar $X$ como una superficie sobre $F_p$ que corresponde en la perspectiva anabelina a estudiar $$1 \rightarrow \pi_1^{et}(X_{\bar F_p}) \rightarrow \pi_1^{et}(X) \rightarrow Gal(\bar F_p / F_p) \rightarrow 1.$$ Pero esto es bastante parecido a mirar $\pi_1^{et}(X)$ por sí mismo; sólo hay un poco de profilaxis $\hat Z$ cociente flotante, pero esto puede ser caracterizado (creo) grupo teóricamente dentro del estudio de $\pi_1^{et}(X)$ sí mismo.

Yo entendería (después de leer a Mochizuki) que mirar las curvas $X$ sobre campos de funciones $F_p(T)$ como superficies sobre $F_p$ es como mirar sólo el grupo fundamental etale $\pi_1^{et}(X)$ sin preocuparse del mapa a $Gal(\overline{F_p(T)} / F_p(T))$ .

Así, el análogo del campo de números naturales sería el siguiente Consideremos una curva suave $X$ en $Q$ . De hecho, hagamos $X = E - \{ 0 \}$ sea una curva elíptica de una sola perforación sobre $Q$ . Entonces la geometría anabelina absoluta sugiere que para estudiar $X$ debería ser provechoso estudiar el grupo fundamental etale $\pi_1^{et}(X)$ por sí mismo como un grupo profinito. Este es el análogo anabelino de lo que otros podrían llamar "estudiar (a $Z$ -modelo de) $X$ como una superficie sobre el campo con un elemento".

Sin entender ninguna de las pruebas de Mochizuki, creo que su trabajo surge de esta perspectiva anabelina absoluta de entender la aritmética de las curvas elípticas una vez perforadas sobre $Q$ de sus grupos fundamentales etale. La conjetura ABC es equivalente a La conjetura de Szpiro que es una conjetura sobre la aritmética de las curvas elípticas sobre $Q$ .

He aquí una sugerencia para los teóricos de los números que, como yo, lamentablemente han ignorado este rincón anabelino. Intentemos leer los trabajos de Neukirch y/o Uchida para empezar, e intentemos entender el trabajo de Minhyong Kim sobre el Teorema de Siegel ("El grupo fundamental motivacional de $P^1 \backslash ( 0, 1, \infty )$ y el teorema de Siegel", Invent. Math. 161 (2005), no. 3, 629-656.)

Sería maravilloso que, mientras esperamos a que los expertos se pronuncien sobre el trabajo de Mochizuki, nos tomáramos un tiempo para revisar algunos grandes resultados del programa anabelino. Si alguien quiere iniciar un grupo de lectura / blog de discusión sobre estos trabajos, me encantaría asistir y discutir.

Answer 3

Última revisión: 20/10. (Probablemente el último por lo menos durante algún tiempo: hasta que Mochizuki suba sus revisiones de IUTT-III e IUTT-IV. Mis disculpas por las múltiples revisiones. )

Completamente reescrito. (9/26)

En efecto, parece que nada parecido al Teorema 1.10 del IUTT-IV de Mochizuki podría sostenerse.

Aquí hay un conjunto infinito de contraejemplos, asumiendo por conveniencia dos conjeturas estándar (la primera es de hecho una consecuencia de ABC), que contradicen Thm. 1.10 muy mal.

Supuestos:

• A (Consecuencia de ABC) Para todas las curvas elípticas sobre $\mathbb{Q}$ el director de orquesta $N$ y el discriminante mínimo $\Delta$ satisfacer $\log{|\Delta|} < (\log{N})^2$ .

• B (conjetura de la imagen abierta uniforme de Serre) Para cada $d \in \mathbb{N}$ , hay una constante $c(d) < \infty$ tal que para todo campo numérico $F/\mathbb{Q}$ con $[F:\mathbb{Q}] \leq d$ , y cada curva elíptica no-CM $E$ en $F$ , y cada primo $\ell \geq c(d)$ , la representación de Galois de $G_F$ en $E[\ell]$ tiene la imagen completa $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}/{\ell})$ . (De hecho, basta con tomar la versión más débil en la que $F$ se mantiene fija. )

Además, por lo que puedo ver en la demostración del Teorema 1.10 de IUTTIV, la única razón para tomar $F := F_{\mathrm{tpd}}\big( \sqrt{-1}, E_{F_{\mathrm{tpd}}}[3\cdot 5] \big)$ --- en lugar de simplemente $F := F_{\mathrm{tpd}}(\sqrt{-1})$ --- fue para asegurar que $E$ tiene una reducción semiestable sobre $F$ . Como en lo que sigue sólo trabajaré con curvas elípticas semiestables sobre $\mathbb{Q}$ , Asumiré, por una leve conveniencia técnica en los ejemplos siguientes, que para las curvas elípticas ya semiestable sobre $F_{\mathrm{tpd}}$ , podemos realmente tomar $F := F_{\mathrm{tpd}}(\sqrt{-1})$ en el Teorema 1.10.

El conjunto infinito de contraejemplos. Provienen del documento de Masser [Masser: Nota sobre una conjetura de Szpiro, Asterisque 1990], como sigue. Masser ha producido un conjunto infinito de curvas elípticas de Frey-Hellougarch (es decir, semiestable y con 2-torsión racional) sobre $\mathbb{Q}$ cuyo conductor $N$ y el discriminante mínimo $\Delta$ satisfacer $$ (1) \hspace{3cm} \frac{1}{6}\log{|\Delta|} \geq \log{N} + \frac{\sqrt{\log{N}}}{\log{\log{N}}}. $$ (Así, $N$ en estos ejemplos puede tomarse de forma arbitraria. ) Por (A) anterior, tomando $N$ lo suficientemente grande garantizará que $$ (2) \hspace{3cm} \log{|\Delta|} < (\log{N})^2. $$ A continuación, la suma de los logaritmos de los primos en el intervalo $\big( (\log{N})^2, 3(\log{N})^2 \big)$ es $2(\log{N})^2 + o((\log{N})^2)$ , por lo que ciertamente es $> (\log{N})^2$ para $N \gg 0$ lo suficientemente grande. Así, por (2), es fácil ver que el intervalo $\big( (\log{N})^2, 3(\log{N})^2 \big)$ contiene un primo $\ell$ que no divide ni $|\Delta|$ ni ninguno de los exponentes $\alpha = \mathrm{ord}_p(\Delta)$ en la factorización de primos $|\Delta| = \prod p^{\alpha}$ de $|\Delta|$ .

Consideremos ahora el par $(E,\ell)$ : tiene $F_{\mathrm{mod}} = \mathbb{Q}$ y como $E$ tiene un carácter racional $2$ - la torsión, $F_{\mathrm{tpd}} = \mathbb{Q}$ también. Deja que $F := \mathbb{Q} \big( \sqrt{-1}\big)$ . Afirmo que, al tomar $N$ lo suficientemente grande, la pareja $(E_F,\ell)$ surge de un inicial $\Theta$ -datum como en IUTT-I, definición 3.1. En efecto:

• Ciertamente (a), (e), (f) de IUTT-I, Def. 3.1 se satisfacen (con los correspondientes $\underline{\mathbb{V}}, \, \underline{\epsilon}$ );
• (b) de IUTT-I, Def. 3.1 se cumple ya que por construcción $E$ es semiestable sobre $\mathbb{Q}$ ;
• (c) de IUTT-I, Def. 3.1 se cumple, en vista de (B) anterior y de la elección de $\ell$ En cuanto $N \gg 0$ es lo suficientemente grande (recordemos que $\ell > (\log{N})^2$ por construcción!), y por la observación de que, para $v$ un lugar de $F = \mathbb{Q}(\sqrt{-1})$ El orden de la $v$ -adic $q$ -parámetro de $E$ es igual a $\mathrm{ord}_v (\Delta)$ que es igual a $\mathrm{ord}_p(\Delta)$ para $v \mid p > 2$ y $2\cdot\mathrm{ord}_2(\Delta)$ para $v \mid 2$ ;

mientras que $\mathbb{V}_{\mathrm{mod}}^{\mathrm{bad}}$ consiste en los primos que dividen a $\Delta$ ;

• Por último, (d) de IUTT-I, Def. 3.1 se cumple al excluir como máximo cuatro de los ejemplos de Masser $E$ . (Véase la página 37 del IUTT-IV).

Ahora , toma $\epsilon := \big( \log{N} \big)^{-2}$ en el Teorema 1.10 de IUTT-IV; esto es ciertamente permisible para $N \gg 0$ lo suficientemente grande. Afirmo que la conclusión del Teorema 1.10 contradice (1) en cuanto $N \gg 0$ es lo suficientemente grande.

Pues ten en cuenta que la cantidad de Mochizuki $\log(\mathfrak{q})$ es precisamente $\log{|\Delta|}$ (referencia: véase, por ejemplo, el artículo de Szpiro en el Grothendieck Festschrift, vol. 3); su $\log{(\mathfrak{d}^{\mathrm{tpd}})}$ es cero; su $d_{\mathrm{mod}}$ es $1$ y su $\log{(\mathfrak{f}^{\mathrm{tpd}})}$ es nuestro $\log{N}$ . Por construcción, nuestra elección $\epsilon := \big( \log{N} \big)^{-2}$ luego hace $1/\ell < \epsilon$ y $\ell < 3/\epsilon$ por lo que la demostración final del Teorema 1.10 daría como resultado $$ \frac{1}{6} \log{|\Delta|} \leq (1+29\epsilon) \cdot \log{N} + 2\log{(3\epsilon^{-8})} < \log{N} + 16\log{\log{N}} + 32, $$ donde hemos utilizado $\epsilon \log{N} = (\log{N})^{-1} < 1$ para $N > 3$ y $2\log{3} < 3$ .

La última pantalla contradice (1) en cuanto $N \gg 0$ es lo suficientemente grande.

Por lo tanto, los ejemplos de Masser dan infinitos contraejemplos al Teorema 1.10 de la IUTT-IV (tal y como está escrito).

Añadido el 15/10, y revisado el 20/10. Mochizuki ha comentado la aparente contradicción entre los ejemplos de Masser y el Teorema 1.10:

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV%20(comments).pdf

Escribe que revisará partes de IUTT-III e IUTT-IV, y que las pondrá a disposición en un futuro próximo. (Estima que enero de 2013 es un periodo razonable). Confirma la siguiente revisión ["esencialmente"] prevista del Teorema 1.10:

Dejemos que $E/\mathbb{Q}$ sea una curva elíptica semiestable con [digamos, para simplificar] racionales $2$ -torsión [es decir, una curva de Frey-Hellegouarch] de discriminante mínimo $\Delta$ y el conductor $N$ (sin cuadrar). Para $\epsilon > 0$ , dejemos que $N_{\epsilon} := \prod_{p \mid N, p < \epsilon^{-1}} p$ . Entonces: $$ \frac{1}{6} \log{|\Delta|} < \big( 1 + \epsilon \big) \log{N} + \Big( \omega(N_{\epsilon}) \cdot \log{(1/\epsilon)} - \log{N_{\epsilon}} \Big) + O\big( \log{(1/\epsilon)} \big) $$ $$ < \log{N} + \Big( \epsilon \log{N} + \big( \epsilon \log{(1/\epsilon)} \big)^{-1} \Big) + o\Big( \big( \epsilon \log{(1/\epsilon)} \big)^{-1} \Big), $$ donde $\omega(\cdot)$ denota el "número de factores primos". La segunda estimación proviene del teorema de los números primos en la forma $\pi(t) = t/\log{t} + t/(\log{t})^2 + o\big( t/(\log{t})^2 \big)$ aplicada a $t := \epsilon^{-1}$ y es agudo si se restringe $\epsilon$ a la gama $\epsilon^{-1} < (\log{N})^{\xi}$ con $\xi < 1$ , ya que no hay nada que impida $N$ de ser divisible por todos los primos $p < (\log{N})^{\xi}$ . En particular, como la construcción Erdos-Stewart-Tijdeman-Masser se basa en el principio de encasillamiento, que no puede excluir que $N$ sea divisible por todos los primos $< (\log{N})^{2/3}$ la segunda estimación podría ser muy aguda en todos los ejemplos de Masser. Como se ve fácilmente que el término entre corchetes supera el rango $\sqrt{\log{N}}/(\log{\log{N}})$ de los ejemplos de Masser, esto tiene la implicación de que

el método Erdos-Stewart-Tijdeman-Masser no puede refutar la desigualdad revisada de Mochizuki,

lo que parece razonable.

Por otro lado, si tomamos $\epsilon := (\log{N})^{-1}$ y asume $\omega(N_{\epsilon})$ acotado, esto daría como resultado $(1/6)\log{|\Delta|} < \log{N} + O(\log{\log{N}})$ Como antes. ( Por lo tanto, Mochizuki predice que este último límite debe mantenerse para $N$ un número entero libre de cuadrados suficientemente grande como para que el número de primos $< \log{N}$ dividiendo $N$ está acotado . Por el momento no veo pruebas a favor ni en contra: de nuevo, las construcciones de Masser y Erdos-Stewart-Tijdeman se basan en el principio de encasillamiento, y no parecen poder excluir los primos pequeños $< \log{N}$ . Así que aquí tenemos un problema abierto por el que se podría probar la desigualdad revisada de Mochizuki. Un recordatorio: en términos de la $abc$ -triple, $\Delta$ es esencialmente $(abc)^2$ y $N = \mathrm{rad}(abc)$ ).

Una observación al margen: obsérvese que la inversa $1/\ell$ del nivel primo de la correspondencia de Rham-Etale $(E^{\dagger}, < \ell) \leftrightarrow E[\ell]$ en la "teoría de Hodge-Arakelov" de Mochizuki figura finalmente como el $\epsilon$ en la conjetura ABC.

[He suprimido el resto del apéndice 10/15, ya que está obsoleto tras los comentarios revisados de Mochizuki. ]

Answer 4

[La respuesta que sigue es una respuesta a una versión anterior de la pregunta que era bastante diferente en algunos aspectos. La respuesta de Minhyong Kim ofrece una excelente visión de las ideas que Mochizuki tenía en el año 2000 y que proporcionan elementos esenciales para el trabajo más reciente. Pero sigo creyendo que es demasiado prematuro que un no experto busque la nuevo por razones que se explican más adelante, dado que muchos expertos de alto nivel están tratando de absorber las ideas que Mochizuki desarrolló en el año 2000].

Esta pregunta parece estar inspirada en una falacia histórica: la única "visión" de una prueba de las conjeturas de Weil que tenía Grothendieck cuando empezó a desarrollar ideas relacionadas con su trabajo sobre el problema (es decir, la cohomología etale) era la expuesta en el artículo original de Weil. El yoga en torno a las conjeturas estándar llegó mucho más tarde.

Dicho esto, aunque los nuevos desarrollos de ABC son potencialmente muy emocionantes, y es comprensible querer "compartir la emoción", por razones específicas de esta situación parece ser demasiado prematuro pedir un boceto en MO o en un blog de la visión/prueba de Mochizuki con una expectativa de conocimiento en la nueva obra. Permítanme que intente indicar por qué es así.

Como ha explicado claramente JSE en otro lugar, hay un montón de expertos en geometría aritmética que actualmente se esfuerzan por conseguir incluso un pequeño mango sobre lo que realmente sucede en los trabajos de Mochizuki (debido enteramente a la falta de estudio previo de estas ideas por parte de los expertos; ¡los escritos de Mochizuki son extremadamente precisos, detallados, minuciosos y llenos de asideros intuitivos!) Así que la situación parece ser bastante diferente a la de otros enormes avances de las últimas décadas (de Perelman, Faltings, Wiles, etc.), para los que el nuevo y profundo trabajo tuvo lugar dentro de un contexto que ya era algo familiar para una comunidad de expertos de buen tamaño en el campo (que entonces pudo utilizar su experiencia y conocimientos para difundir rápidamente una "vista de pájaro" a otros de algunas de las nuevas ideas clave).

Debido a las circunstancias bastante singulares de este caso, como se acaba de indicar, creo que el llamamiento inicial de Quid a la paciencia (si uno no va a dedicarse directamente a la lucha por leer los documentos reales y el trabajo previo del que dependen) es apropiado.

Pero para terminar con una nota semipositiva, permítanme explicar por qué la mención de Quid a los trabajos de investigación de Mochizuki es muy acertada. Algunas de esas encuestas son relativamente cortas (por ejemplo, menos de 20 páginas), y si te resultan difíciles de entender, te harás una idea real de las dificultades a las que se enfrentan actualmente muchos de los mejores expertos en sus esfuerzos por tratar de comprender lo que ha conseguido Mochizuki. Por favor, ¡tenga paciencia! Como ha señalado Quid, a su debido tiempo, a medida que los expertos lleguen a adquirir una verdadera comprensión de la estructura general de los argumentos de estos documentos, surgirán muchas exposiciones para una amplia difusión de las ideas. Mochizuki se ha esforzado mucho en dar indicaciones sobre su motivación y sus ideas a lo largo de sus documentos (que son un serio reto incluso para que los mejores expertos los asimilen), y para respetar su notable esfuerzo parece que lo mejor es comprometerse con él directamente (ya sea a través de la lectura de las encuestas o de los documentos principales).

Answer 5

Permítanme también intentar dar, en un modesto complemento al gran post de Minhyong Kim, algunos comentarios adicionales sobre la estrategia de Mochizuki. La idea que ha llevado al desarrollo de la "teoría de Teichmuller interuniversal para campos numéricos" es ciertamente muy hermosa, y era conocida por Mochizuki, junto con la naturaleza de la estimación final, ya en el año 2000. (Pero recordemos, como un recordatorio sensato de lo esquiva que ha sido la conjetura ABC, la prueba defectuosa de Miyaoka: ¿no parecía igualmente bella, emocionante y prometedora la idea de un límite del tipo Bogomolov-Miyaoka-Yau que implicara números de Chern aritméticos en la teoría de Arakelov?)

En resumen, la idea principal de la serie IUTT es construir, fuera de los rígidos confines de la geometría algebraica, un objeto sutil que simule un rango-1, Galois-estable cociente de $E[\ell]$ . Aquí, $E/\mathbb{Q}$ es un (casi) arbitrario curva elíptica racional (y este es el punto principal: tal cociente estable de Galois casi nunca existirá); y $\ell \geq 5$ es un primo auxiliar, genérico para $E$ en un muy sentido leve, pero por lo demás libre para optimizar hasta la estimación final. A continuación, se aplica para construir, en la "teoría de Hodge-Arakelov" discretizada no lineal, un isomorfismo de comparación entre $(E^{\dagger}, <\ell)$ y $E[\ell]$ , que no tiene polos gaussianos en los malos lugares de $E$ . Pues esto lleva a un prometedor "mapa Kodaira-Spencer" de la teoría de Galois, como se explica en el post de Minhyong Kim, y que, con suerte, conducirá de la manera conocida a la desigualdad aritmética de Szpiro para esta misma curva elíptica: $\log{|\Delta_{\mathrm{min}}(E)|} \leq (6+\varepsilon) \log{N_E} + O_{\varepsilon}(1)$ .

Sin embargo, permítanme discrepar con un punto del post de M. Kim. Mi impresión es que lo que Mochizuki denomina un "principio $\Theta$ -datum" - y que es, esencialmente, el par de la curva elíptica racional $E$ (o, en su defecto, el $abc$ -de la conjetura ABC) y, hasta la última estimación del capítulo 2 del cuarto documento, el nivel primo $\ell$ - son arreglado para siempre a lo largo de toda la serie de documentos IUTT. La página web deformación El sabor de la "teoría de Teichmuller" se refiere a desmantelamiento el campo numérico subyacente, y no a la mejora de la curva elíptica (de hecho, en el diccionario de Mochizuki con su propia $p$ -Teoría del Adicto Teichmuller , es el campo numérico que corresponde a una curva hiperbólica; el realce de la curva elíptica corresponde a un "haz indígena" sobre la curva hiperbólica, e invita a la filosofía anabeliana a través del grupo fundamental \'etale de la curva elíptica una vez perforada). Todos los "teatros de Hodge" asociados al $\Theta$ -datum son isomórficos entre sí, y forman un $2$ -de la matriz no conmutativa - el " $\mathfrak{log}-\Theta$ retícula" - de traslaciones no anulares entre sí. Lo que Mochizuki escribe en la página 10 de IUTT-I es que la teoría de $\Theta$ -Los teatros de Hodge "pueden ser considerados como una especie de solución al problema de la construcción de la global cociente $E[\ell] \twoheadrightarrow Q$ " [necesario para la aplicación a la aritmética Kodaira-Spencer]. No parece sugerir que esto se haga "desplazando la inicial $E$ a una sola curva elíptica a través del caso intermedio de una curva elíptica en posición general como escribe M. Kim. (El término "curvas elípticas en posición general" figura, en efecto, en el cuarto artículo de Mochizuki, pero tiene un significado diferente, no tan esencial, que viene a través de su artículo totalmente autónomo [GenEll], y cuyo propósito puramente técnico es reducir la conjetura general de ABC a la versión restringida de la desigualdad de Szpiro para $E$ en Thm. 1.10 de IUTT-IV, procedente de la estimación de IUTT-III).

En particular, en fuerte contraste con la tradición de aproximaciones diofantinas de Thue-Siegel-Roth, el programa de Mochizuki no parecen comparar diferentes curvas elípticas / $abc$ -triples, hasta la estimación de la clave $$ (*) \hspace{3cm} \log{|\Delta_{\mathrm{min}}(E)|} \leq \big(6 + \varepsilon + 200/\ell\big)\log{N_E} + 12\log(\ell\varepsilon^{-7}) $$ de IUTT-IV [afirmado para todo primos $\ell \geq 5$ que son genéricos para $E$ en un bastante suave sentido: esencialmente, $\ell$ tiene que ser primo de los lugares degenerados y el $q$ -parámetros de $E$ . También, $\varepsilon \in (0,\epsilon_0)$ es arbitrario con $\epsilon_0$ un valor numérico. ] En este sentido, el planteamiento de Mochizuki -sin tener en cuenta las enormes dificultades técnicas que supone la simulación no teórica de un cociente global $E[\ell] \twoheadrightarrow Q$ - es totalmente directa y, en consecuencia, eficaz.

¿Qué es lo que Mochizuki pretende demostrar?

Comience con un $abc$ -triple (enteros racionales coprimos con $a+b+c=0$ ). Dado que el discriminante $(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)$ de un polinomio cúbico $x^3 + \cdots$ encapsula exactamente esta ecuación, es una idea rentable y tradicional interpretar la $abc$ -datum como la entrega de la curva elíptica racional $E = E_{a,b,c}$ definido por la ecuación $y^2 = x(x-a)(x+b)$ . La conjetura ABC (aparentemente más débil, pero prácticamente igual de poderosa) $abc < K_{\varepsilon}\cdot\mathrm{rad(abc)}^{3+\varepsilon}$ entonces se traduce en la desigualdad de Szpiro: $\log{|\Delta_{\min}(E)|} \leq (6+\varepsilon)\log{N_E} + O_{\varepsilon}(1)$ entre el discriminante mínimo $\Delta_{\min}(E)$ y el conductor $N_E$ de $E$ (que son, esencialmente , $(abc)^2$ y $\mathrm{rad}(abc)$ ). Elige el "primo auxiliar" $\ell \geq 5$ para ser genérico para $E$ en el sentido de que, esencialmente : (1) $\ell \nmid abc$ ; (2) $\ell$ no divide los exponentes primos en $abc$ (3) para $F := \mathbb{Q}( \sqrt{-1}, E[15] )$ la representación de Galois de $G_F$ en $E[\ell]$ tiene la imagen completa $\mathrm{GL}_2 (\mathbb{Z}/\ell)$ . [ Conjeturalmente, la última condición sólo debería excluir una lista finita de números primos, independientemente de $E$ !] Entonces Mochizuki [IUTT-IV, Thm. 1.10] afirma que (*) debe cumplirse para cualquier $\varepsilon < \epsilon_0$ .

Esta es la estimación diofantina esencial. Todo lo que vaya más allá [es decir, la deducción de la conjetura ABC completa en IUTT-IV, Sección 2] consiste en reducciones estándar y relativamente sencillas [como, por ejemplo, el uso de mapas de Belyi no críticos] elaboradas en el artículo autocontenido de Mochizuki [GenEll]: "Curvas elípticas aritméticas en posición general". En efecto, Mochizuki escribe, en su primer trabajo, que el nivel primo auxiliar $\ell \geq 5$ de los isomorfismos/correspondencias de comparación no lineal discretizada de Hodge-Arakelov $(E^{\dagger}, < \ell) \leftrightarrow E[\ell]$ se elegirá en la aplicación diofántica que sea grande, aproximadamente del orden de la altura de $E$ . Pero esto se consigue completamente a través del Teorema 3.8 de [GenEll]: allí, las diversas propiedades de no divisibilidad se garantizan simplemente tomando $\ell$ para superar todos los primos de mala reducción / todos los $q$ -(además, la acción completa de Galois está asegurada incondicionalmente). En (*), $\ell$ puede ser cualquier primo que satisfaga las condiciones de no divisibilidad mencionadas. (Esto, por cierto, es lo que consideré altamente inquietante).

Mis disculpas si he malinterpretado -y tergiversado- los puntos de los documentos de Mochizuki a los que he aludido.