Elección del primer término en los polinomios de Legendre

Question

Las dos soluciones de la ecuación diferencial de Legendre obtenidas por el método de solución en serie son :

y

Ahora, según mi libro de texto, para el polinomio útil para n igual a un número entero positivo, la constante $a_{0}$ en el primer caso se elige como $a_{0}={\frac{1.3.5...(2n-1)}{n!}}$ y la solución se llama entonces polinomio de Legendre o coffecient o Armónicos Zonales del primer tipo.

Para n siendo el entero negativo la constante $a_{0}$ en el segundo caso se elige como $a_{0}={\frac{n!}{1.3.5...(2n+1)}}$ y el polinomio correspondiente se define como función de Legendre del segundo tipo.

Ahora la elección de $a_{0}$ parece bastante arbitrario y, exactamente, ¿en qué consiste la utilidad de tal elección?

P.D.: Al resolver la ecuación de Hermite elegimos $a_{0}$ de manera similar (y aparentemente) arbitraria. ¿Está la razón detrás de la elección relacionada de alguna manera?

La solución completa de la ecuación de Legendre utilizando el método de solución en serie se puede encontrar aquí

Answer 1

De hecho, no es $a_0$ para el que se elige un valor. Para los polinomios de Legendre $P_n$ La "normalización" consiste en establecer $P_n(1) = 1$ . Esta elección conduce a la fórmula de Rodrigues $$P_n(x) = \frac{1}{2^nn!}[(x^2-1)^n]^{(n)}$$ de la que derivamos \begin {Ecuación} \begin {split} P_n(x) &= \frac {1}{2^nn!}[(x+1)^n \cdot (x-1)^n]^{(n)} \\ &= \frac {1}{2^nn!} \sum_ {k=0}^{n} \binom {n}{k}[(x+1)^n]^{(k)} \cdot [(x-1)^n]^{(n-k)} \\ &= \frac {1}{2^nn!} \sum_ {k=0}^{n} \binom {n}{k} \frac {n!}{(n-k)!}(x+1)^{n-k} \cdot \frac {n!}{k!}(x-1)^k \\ &= \frac {1}{2^n} \sum_ {k=0}^{n} \binom {n}{k}^2(x+1)^{n-k}(x-1)^k \end {split} \end {Ecuación}

así que \begin {Ecuación} \begin {split} a_0 &= \frac {1}{2^n} \sum_ {k=0}^{n} \binom {n}{k}^2 = \frac {1}{2^n} \binom {2n}{n} = \frac {(2n)!}{2^nn!^2} \\ &= \frac {(2n)(2n-1)(2n-2) \cdot\cdot\cdot2\cdot 1}{2^n \cdot n(n-1)(n-2) \cdot\cdot\cdot2\cdot 1 \cdot n!} \\ &= \frac {(2n-1)(2n-3) \cdot\cdot\cdot3\cdot 1}{n!} \end {split} \end {ecuación} que es exactamente el valor que encontraste en tu libro de texto.