Descomposición de las segundas derivadas de una inmersión

Question

Que sea $M^n$ un $n$ -y que $$X(\cdot, t): M^n \longrightarrow \mathbb{R}^{n+1}$$

sea una familia de un parámetro de inmersiones de hipersuperficies lisas en $\mathbb{R}^{n+1}$ . Xi-Phing Zhu afirma en su libro en la página 16 que $$\frac{\partial^2 X}{\partial x^i \partial x^j} = \Gamma^k_{ij} \frac{\partial X}{\partial x^k} + h_{ij} \overrightarrow{n},$$ donde $\overrightarrow{n}$ es una normal unitaria en $X(\cdot, t)$ y $h_{ij}(x,t) = \langle \overrightarrow{n}, \frac{\partial^2 X(x,t)}{\partial x^i \partial x^j} \rangle$ es válida por la ecuación de Weingarten, pero no entendí cómo exactamente la ecuación de Weingarten me ayuda a demostrarlo. ¿Puede alguien explicar por qué es válida?

Gracias de antemano.

P.D.: El autor asume la convención de resumen de Einstein en el libro.

Answer 1

La componente tangencial de esta ecuación vectorial es precisamente la definición de los símbolos de Christoffel $\Gamma^k_{ij}$ , al igual que la componente normal es la definición de la segunda forma fundamental de la hipersuperficie.