"Sea Top la categoría de espacios topológicos". Si veo una definición como ésta, en la que los espacios homeomorfos (isomorfos en la categoría) no se identifican juntos, entonces para cada espacio topológico dado, ¿cuántas veces aparece como objeto en Top? ¿Una vez? ¿Contadas veces? ¿Incontablemente muchas veces? ¿Existe una crisis semántica si no identificamos todos los espacios topológicos homeomórficos con el mismo objeto?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Pues bien, tales categorías son en realidad clases propiamente dichas. Por ejemplo, los espacios que son homeomorfos a $\mathbb{R}$ se dará en CUALQUIER conjunto de la misma cardinalidad. Por lo tanto, el número de conjuntos depende de cuántos haya... pero hay muchos conjuntos. De hecho, más de lo que vale cualquier conjunto individual. (Aunque sobre los detalles allí, no estoy seguro de lo que sucede para la cardinalidad fija)
Podemos identificarlos, y obtenemos una esqueleto . Sin embargo, normalmente no lo hacemos, porque no hay una forma natural de elegir un objeto de cada clase, y una de las frases importantes de la teoría de las categorías es "no hacer nunca una elección". (Naturalmente, esto es una gran simplificación, pero es una buena regla general)
Torsten Ekedahl
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Si lo que quieres decir con "la categoría de espacios topológicos" es la categoría cuyos objetos son pares $(S,T)$ donde $S$ es un conjunto y $T$ es una topología en $S$ y por espacio topológico se entiende un par $(S,T)$ donde $S$ es un conjunto y $T$ es una topología en $S$ entonces es evidente que cada espacio topológico aparece exactamente una vez.
Vetle
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Creo que lo mejor sería hablar primero de la categoría de los conjuntos. Cualquier clase de isomorfismo de conjuntos aparece tantas veces que una clase de isomorfismo dada no forma por sí misma un conjunto - por ejemplo, $\{ 1, 2, 3 \}$ o $\{ 4, 5, 6 \}$ o $\{ \text{Cat}, \text{Dog}, \text{Monkey} \}$ son todos los elementos de la clase de isomorfismo de conjuntos de cardinalidad $3$ y, de forma más general, cualquier conjunto cuyos elementos sean tres conjuntos diferentes, por lo que existen al menos otros tantos conjuntos de cardinalidad $3$ como hay conjuntos.
Lo mismo ocurre en cualquier categoría en la que se insiste en representar los objetos como conjuntos, pero una de las cosas buenas de la teoría de las categorías es que más o menos no importa el "lenguaje de máquina" que se utilice para describir una categoría.
kevtrout
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Esto no es esencialmente diferente de lo que todo el mundo ha dicho, pero por alguna razón me apetece decirlo de todos modos.
El número de veces que un espacio topológico dado aparece en la categoría de espacios topológicos es exactamente una. Esa es la definición de la clase de objetos de Top.
En cuanto a las clases de isomorfismo: hay exactamente un objeto en Top que es isomorfo al conjunto vacío $\varnothing$ con su topología única: a saber $\varnothing$ . Para cualquier espacio topológico no vacío $X$ la subclase de Top formada por los espacios $X'$ que son homeomórficos a $X$ forman una clase propia: es decir, son más numerosos que cualquier conjunto. Esto es cierto porque la clase de todos los conjuntos es una clase propia, y si $(X,\tau)$ es cualquier espacio topológico no vacío y $S$ es un conjunto cualquiera, entonces $X \times \{S\}$ es un conjunto diferente de $X$ pero en biyección con ella: $x \mapsto (x,S)$ y la imagen de $\tau$ bajo esta biyección da un espacio topológico que es homeomorfo a $(X,\tau)$ pero con un conjunto subyacente diferente.
Así que, salvo una, las clases de homeomorfismo en Top son "inseparablemente" enormes. Sin embargo, la perspectiva moderna es que esto está bien (o, tal vez, inofensivamente irrelevante) mientras que es un mala idea para trabajar con la clase de homeomorfismo del espacio en lugar del propio espacio. Una forma de pensar en esto es que un espacio topológico dado $X$ es un objeto relativamente sencillo, pero la clase de todos los espacios topológicos homeomórficos a $X$ es un objeto ridículamente complicado. (Esto no siempre ha sido la sabiduría recibida: en particular, la definición de Bertrand Russell del número $2$ era la clase de todos los conjuntos que se pueden poner en biyección con, por ejemplo, $\{\emptyset, \{ \emptyset\} \}$ .) Desde una perspectiva menos filosófica, se quiere hablar de conjuntos de mapas entre dos espacios topológicos $X$ y $Y$ y si $X$ y $Y$ sólo están bien definidos hasta un homeomorfismo, estos conjuntos no están tan bien definidos. En cuanto se estudian los diagramas conmutativos de los morfismos de los objetos de una categoría (o, más generalmente, las construcciones functoriales), se reconoce que el concepto de "espacio topológico hasta un homeomorfismo" es penosamente incómodo.
También va sencillamente en contra del espíritu de la teoría de las categorías pasar a las clases de isomorfismo: muchos dirán que así se hace demasiado hincapié en la noción un tanto filosófica de la igualdad de los objetos. En lugar de decir "el espacio topológico $X$ es igual al espacio topológico $Y$ ", muchos matemáticos piensan ahora que es más simple y más útil decir " $\Phi: X \rightarrow Y$ es un homeomorfismo". Para más información sobre este punto, recomiendo encarecidamente el libro de Barry Mazur artículo ¿Cuándo una cosa es igual a otra?
dgw
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(Ampliando el punto de Yuan sobre la irrelevancia del "lenguaje de la máquina" y el de JT sobre "la pregunta equivocada":)
En cierto sentido, ni siquiera se debería poder preguntar si dos espacios topológicos (es decir, objetos de Top) son iguales, sólo si son isomorfos; si no se puede preguntar por la igualdad, entonces ciertamente no se puede hablar de cardinalidad (con respecto a dicha igualdad), y por tanto no existe la noción de cardinalidad de la colección de objetos isomorfos a uno dado.
Sin embargo, si se interpreta que todo espacio topológico lleva implícita una información extra no topológica a través de la cual se define dicha noción no topológica de igualdad (por ejemplo si se toma que los puntos de los espacios topológicos son además elementos de la jerarquía acumulativa de conjuntos bien fundados de conjuntos..., lo que permite preguntarse si los puntos de espacios distintos son iguales apelando a esta estructura extra, y en consecuencia si los espacios mismos son iguales en virtud de un isomorfismo que envía puntos a puntos iguales), entonces, por supuesto, se puede responder a la pregunta (en el ejemplo dado, como se ha señalado anteriormente, la respuesta será que las clases de isomorfismo forman clases propias). Pero no se trata realmente de una pregunta sobre la categoría de espacios topológicos, como tal; se trata de una pregunta sobre la manera particular en que uno puede elegir realizar la teoría intuitiva de los espacios topológicos dentro de la ontología de otra (meta)teoría/implementar la estructura de la categoría de espacios topológicos dentro de un contexto que impone también otra estructura.
Si se evita seleccionar tales "detalles de implementación", entonces la pregunta carece de sentido, precisamente del mismo modo que preguntas como "¿Es el número entero 9 un elemento del racional -3/5?" carecen de sentido en abstracto.
