¿Cuál es el valor de $N$ ?

Question

$N$ es el menor número entero positivo tal que para cualquier número entero $n > N$ la cantidad $n^3 – 7n^2 + 11n – 5$ es positivo. ¿Cuál es el valor de $N$ ?

Nota: $N$ es un número de un solo dígito.

Answer 1

$n^3-7n^2+11n-5=(n-1)(n^2-6n+5)=(n-1)^2(n-5)$

Ahora, de verdad $n,(n-1)^2 >0$ si $n \ne 1$

Así, el signo de $(n-5)$ determinará el signo del polinomio dado si $n \ne 1$

Answer 2

$\text{We have}\quad f(n)=n^3-7n^2+11n-5\tag{1}.$

$\textrm{We want to solve for}\;\; n\;\textrm{ when}\;\;f(n) = n^3 - 7n^2 + 11n - 5 = 0\tag{2}$

Tenga en cuenta que la sustitución de $n$ con $1$ en la ecuación $(2)$ y luego sumando, nos da: $$1(1^3) - 7(1^2 + 11(1) - 5 = 1 - 7 + 11 - 5 = 0,$$ y así $n = 1$ es una solución a $(2)$ y así $(n - 1)$ es al menos un factor del polinomio $(1)$ .

Dividiendo $\;f(n) = n^3-7n^2+11n-5\;$ por $\;(n - 1)$ nos da $f(n)/(n-1) = (n^2 - 6n + 5).$

De este modo, podemos factorizar $(1)$ :

$$f(n)=(n-1)(n^2-6n+5)=(n-1)[(n-1)(n-5)]=(n-1)^2(n-5).\tag{3}$$

Ahora miramos el raíces de $f(n)$ es decir, cuando es verdad que $f(n) = (n-1)^2(n-5) = 0\;$ ?. - Ya sabemos que cuando $n = 1$ , $f(n) = 0$ . - También se da el caso de que cuando $n = 5$ , $f(n) = 0$ .

Entonces, ¿cuál debe ser el valor de $n$ ser si debemos tener $f(n) > 0$ ?.

• Esto es cierto cuando $n < 1$ Pero entonces, como $n$ es un número entero, $n = 0$ es el mayor número entero menor que $1$ y sabemos que $n > N$ , lo que significa $N \le -1$ . Pero necesitamos un positivo $N$ .
• Cuando $1 < n < 5$ , $f(n) < 0.$ No es bueno.
• Cuando $n > 5$ , $f(n) > 0$ . Así que debemos tener $n = 6$ . Este es el menor número entero positivo para el que $f(n)>0$ .

Nota clave : Ahora, sabiendo $n$ ¡no es suficiente! Este $n$ NO es la respuesta a su pregunta.

• Tenemos que utilizar $n$ para determinar el número entero $N$ . Queremos que el el más pequeño de los positivos entero $N$ tal que para cualquier $n > N$ , $f(n)$ es positivo.
• Cuando $N = 5$ tenemos que para todos $n > 5$ , $f(n) > 0$ : esta es su respuesta a esta pregunta.

Answer 3

Dejemos que $f(x)=x^3-7x^2+11x-5$ . $f(1)=f(5)=0$ y así $$f(x)=(x-1)(x^2-6x+5)=(x-1)(x-1)(x-5)=(x-1)^2(x-5)$$ Entonces $$f(x)>0\iff ...$$

Answer 4

El polinomio se eligió para que fuera un factor simple. Así que probablemente se espera una solución a través de la factorización. Pero echemos un vistazo al polinomio $n^3-7n^2+11n-5$ como si la factorización pudiera ser difícil.

Si $n\ge 7$ entonces $n^3-7n^2\ge 0$ . Y $11n-5\gt 0$ para cualquier número entero positivo $n$ . Así que $n^3-7n^2+11n-5\gt 0$ para cualquier $n\ge 7$ .

Ahora pregunta si nuestro polinomio es $\gt 0$ para $n\ge 6$ . Por lo tanto, conecte $n=6$ . Obtenemos un resultado positivo.

¿Es nuestro polinomio $\gt 0$ para $n\ge 5$ ? Enchufar $5$ . Obtenemos $0$ . Esto no es positivo. Así que el número requerido $N$ es $5$ .

Answer 5

Empieza por intentar factorizar la expresión. Hay que tener en cuenta que la suma de los coeficientes es cero: $(+1) + (-7) + (+11) + (-5) = 0$ y así $n=1$ es una solución. Somos capaces de factorizar:

$$n^3 - 7n^2 + 11n -5 \equiv (n-1)(\text{quadratic}) \, .$$

Supongamos que la cuadrática es de la forma $a_2n^2+a_1n+a_0$ por unas cifras aún por determinar $a_2$ , $a_1$ y $a_0$ . Podemos ampliar y comparar los coeficientes. Vemos que $a_2 = 1,$ $a_1 - a_2 = -7$ , $a_0-a_1 = 11$ y $-a_0 = -5.$ Resolviendo estas ecuaciones lineales se obtiene: $a_2 = 1,$ $a_1 = -6$ y $a_0 = 5$ . Así: $n^3-7n^2+11n + 5 \equiv (n-1)(n^2-6n+5).$ De nuevo, podemos factorizar el término cuadrático y vemos que $n^2-6n+5 \equiv (n-1)(n-5)$ . Así:

$$n^3-7n^2+11n-5 \equiv (n-1)^2(n-5) \, .$$

El gráfico $y = x^3-7x^2+11x-5$ corta el $x$ -eje cuando $x=5$ y es tangente allí cuando $x=1$ . Estos son los valores críticos: $x=1$ y $x=5$ . La pregunta es: ¿qué pasa cuando $x < 1$ cuando $1 < x < 5$ y cuando $x > 5.$ Podemos sustituir los valores, por ejemplo $x = 0$ , $x = 2$ y $x = 6$ .

$$\begin{array}{ccc} 0^3 - 7\times 0^2 + 11\times 0 - 5 & = & -5 \, , \\ 2^3 - 7\times 2^2 + 11\times 2 - 5 & = & -2 \, , \\ 6^3 - 7\times 6^2 + 11\times 6 - 5 & = & 25 \, . \end{array}$$

De ello se desprende que $x^3-7x^2+11x-5 \le 0$ para todos $x \le 5$ mientras que $x > 0$ para todos $x > 5$ . Por lo tanto, para todos los enteros $n > N = 5$ tenemos $n^3 - 7n^2 + 11n -5 > 0$ .