Aplicación de la relación Kramers-Kronig a un oscilador amortiguado simple

Question

Acabo de descubrir el Relación Kramers-Kronig y estoy tratando de aplicarlo a un simple oscilador amortiguado de la forma sometido a un impulso a $t=0$ que es un sistema causal:

$$m\ddot x + c\dot x + k x = \delta(t).$$

En el dominio del tiempo, la respuesta puede descomponerse en partes Impares como $x(t) = \operatorname{sign}(t)h_0(t) + h_0(t)$ . La relación de Kramers-Kronig implica que como la señal es causal, la parte real de la transformada de Fourier de una solución $x(t)$ es igual a la transformada de Hilbert de la parte imaginaria de la transformada de Fourier de $x(t)$ . Eso es lo que trato de ilustrar aquí (y me temo que llevaría a una restricción entre $m$ , $c$ y $k$ lo que probablemente sugiera un malentendido por mi parte...).

La transformada de Fourier de la EDO da $$(-m \omega^2 +k + ic\omega )\hat x = 1$$

así que

$$\hat x = \dfrac{1}{-m \omega^2 +k + ic\omega } = \dfrac{k-m\omega^2}{(k-m\omega^2)^2 + (c\omega )^2} + i \dfrac{-c\omega}{(k-m\omega^2)^2 + (c\omega )^2}$$

Si no me equivoco, la relación KK implicaría que la transformada de Hilbert de $\dfrac{-c\omega}{(k-m\omega^2)^2 + (c\omega )^2}$ es $\dfrac{k-m\omega^2}{(k-m\omega^2)^2 + (c\omega )^2}$ , es decir

$$\dfrac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty -\dfrac{1}{u-\omega}\dfrac{c\omega}{(k-m\omega^2)^2 + (c\omega )^2} d\omega \stackrel{?}{=} \dfrac{k-m u^2}{(k-m u^2)^2 + (cu )^2}$$ que no se cumple (tomemos por ejemplo $u=m=c=k=1$ la integral no converge%5E2*1%2F(1-w)%20dw%20from%20-infinity%20to%20%2Binfinity) ). Editar En realidad, es hace mantener para $m=c=k=1$ en el sentido del valor principal (véase la pista y la respuesta). No he podido verificar para arbitrario $m,c,k$ .

Código de Mathematica para quien esté interesado:

m = k = c = 1;
LHS  = Assuming[Element[u, Reals], 1/Pi*Integrate[-1/(u - w)*c*
      w/((k - m*w^2)^2 + (c^2*w^2)), {w, -Infinity, Infinity}, 
     PrincipalValue -> True]];
RHS = (k - m*u^2)/((k - m*u^2)^2 + c^2*u^2);
LHS == RHS // Simplify

Answer 1

¡Este trabajo!

$$x=\frac{1}{-m{\omega}^{2}+k+ic\omega}=\Re{(x(\omega))}+i\,\Im{(x(\omega))}$$ con: $$\Re{(x(\omega))}={\frac {-m{\omega}^{2}+k}{ \left( -m{\omega}^{2}+k \right) ^{2}+{c}^{2 }{\omega}^{2}}}\tag 1$$ y $$\Im{(x(\omega))}=-{\frac {c\omega}{ \left( -m{\omega}^{2}+k \right) ^{2}+{c}^{2}{\omega }^{2}}} \tag 2$$

Relación Kramers-Kronig :

$$I_R=-\frac{2}{\pi}\int_0^\inf \frac{\omega\,\Im{(x(\omega))}}{\omega^2-s^2}\,d\omega$$

para $m=1\,,k=1\,,c=1$

nos encontramos con que:

$$I_R=\frac{1-s^2}{s^4-s^2+1}$$

este es el valor de la ecuación (1) para $\Re{(x(s))|_{m=1\,,k=1\,,c=1}}$

$$I_I=\frac{2}{\pi}\int_0^\inf \frac{s\,\Re{(x(\omega))}}{\omega^2-s^2}\,d\omega$$

nos encontramos con que:

$$I_I=-\frac{s}{s^4-s^2+1}$$

este es el valor de la ecuación (2) para $\Im{(x(s))|_{m=1\,,k=1\,,c=1}}$

para obtener la respuesta correcta hay que tomar el valor principal de Cauchy del resultado integral:

$$I= \text{Cauchy-Principal -Value}\,\left[\int_0^\inf (...)\,d\omega\right]$$

Hice el cálculo con el programa simbólico Maple