Polinomios en una variable con infinitas raíces.

Question

¿Puede un polinomio distinto de cero en una variable tener infinitas raíces?

¿Puede un polinomio distinto de cero en una variable tener un número incontable de raíces?

Motivación : encima $\mathbb Z/12\mathbb Z$ , $X^2-4$ tiene 4 raíces.

Cuando se trata de polinomios con coeficientes sobre un dominio integral, la respuesta es claramente negativa (en ese caso, un polinomio no puede tener más raíces que su grado).

¿Qué ocurre con un anillo que tiene cero divisores?

Answer 1

He aquí una construcción muy sencilla: dejemos que $R$ sea el anillo

$$\mathbf{Z}[x_0, x_1, x_2, \ldots] / \langle x_0^2 + 1, x_1^2 + 1, x_2^2 + 1, \ldots \rangle$$

Entonces cada $x_i$ es una raíz del polinomio $t^2 + 1$ en $R$ .

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Un ejemplo más recortado es el anillo

$$\mathbf{Z}[x,y] / \langle x^2, xy, y^2 \rangle$$

Es el anillo de todos los polinomios de la forma $a + bx + cy$ con coeficientes enteros, sujeto a las relaciones $x^2 = xy = y^2 = 0$ . Así que la multiplicación es

$$(a + bx + cy)(d + ex + fy) = ad + (ae+bd) x + (af+cd)y$$

Todo número de la forma $bx + cy$ es una raíz del polinomio $t^2$ .

Por supuesto, este ejemplo sólo necesitaba una variable, no dos, pero creo que es más interesante con dos.

Answer 2

Dejemos que $R = \prod_{i \in I} (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})$ con sumas y multiplicaciones elementales. Entonces $t \mapsto (2,2,...)t$ es un polinomio no nulo sobre $R$ con $2^{|I|}$ muchos ceros.

Answer 3

Toma $A = \prod_{n \geq 1} \mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z}$ y considerar el polinomio $f(x) = 2x$ en $A.$ Tiene infinitos ceros.