Pruebas de los determinantes de las matrices en bloque

Question

Sé que hay tres resultados importantes cuando se toman los determinantes de las matrices de bloque

$$\begin{align}\det \begin{bmatrix} A & B \\ 0 & D \end{bmatrix} &= \det(A) \cdot \det(D) \ \ \ \ & (1) \\ \\ \det \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} &\neq AD - CB & (2) \\ \\ \det \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} &= \det \begin{bmatrix} A & B \\ 0 & D - CA^{-1}B \end{bmatrix} \\ \\ &= \underbrace{\det(A)\cdot \det\left(D-CA^{-1}B\right)}_\text{if $ A^{-1} $ exists} \\ \\ &= \underbrace{\det\left(AD-CB\right)}_\text{if $ AC=CA $} & (3) \end{align}$$

Ahora entiendo en resultado $(3)$ que todas las operaciones de la fila se están realizando para llevarlo a la forma que vemos en $(1)$ pero no puedo convencerme de ese resultado $(1)$ es cierto en primer lugar.

Además, en el resultado $(3)$ Lo comprendo, $\det(A)\cdot \det\left(D-CA^{-1}B\right) = \det\left(A(D-CA^{-1}B)\right)= \det(AD-CB)$ mediante la regla del producto para los determinantes También entiendo que necesitamos $A^{-1}$ para que la operación de fila inicial reduzca la matriz a una forma triangular superior $U$ y entiendo que requerimos $AC = CA$ para permitir la conmutatividad cuando multiplicamos $ACA^{-1}B$ para reducirlo a $CB$ .

¿Puede alguien aportar pruebas de los resultados? $(1)$ y $(2)$ ya que no puedo encontrar pruebas para ellos en ninguno de los libros de texto que tengo a mi disposición

Answer 1

Para demostrar $(1)$ basta con observar que $$\pmatrix{A &B\\0&D} = \pmatrix{A & 0\\0 & D} \pmatrix{I&A^{-1}B\\0 & I}$$ A partir de aquí, basta con observar que la segunda matriz es triangular superior, y calcular el determinante de la primera matriz. Es fácil ver que el determinante de la primera matriz debe ser $\det(A)\det(D)$ si utilizamos la expansión de Leibniz.

Para un ejemplo en el que $(2)$ no se cumple, consideremos la matriz $$\pmatrix{ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ 1&0&0&0 } = \pmatrix{B&B^T\\B^T&B}$$ Para un ejemplo en el que los bloques diagonales son invertibles, añada $I$ a toda la matriz.

Answer 2

Prueba de la tercera identidad.

Es una consecuencia de la siguiente identidad de "diagonalización en bloque":

$$\pmatrix{ A&B\\ C&D }=\pmatrix{ I&0\\ CA^{-1}&I }\pmatrix{ A&0\\ 0&S }\pmatrix{ I&A^{-1}B\\ 0&I } \ \ \text{with} \ \ S:=D-CA^{-1}B$$

(S = "complemento de Schur" ( https://en.wikipedia.org/wiki/Schur_complement )),

Entonces, basta con tomar determinantes en ambos lados.

Observación : Para muchas fórmulas matriciales, eche un vistazo al increíble compendio: "Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas", segunda edición, de Dennis S. Bernstein (Princeton University Press, 2009).

Answer 3

Supongamos que el bloque $A$ tiene dimensión $r$ , bloque $D$ tiene dimensión $s$ . Utilice la definición del determinante $\lvert c_{i,j}\rvert,\enspace {1\le i,j\le r+s}$ : $$\begin{vmatrix} A&C\\0& D\end{vmatrix} =\sum_{\sigma \in \mathfrak S_{r+s}}\prod_{1\le j\le r+s}(-1)^{\text{sgn}\, \sigma}c_{\sigma(j),j}.$$ Ahora los términos no nulos son aquellos tales que, si $1\le j\le r$ , $\;1\le \sigma(j)\le r$ . Del mismo modo, si $r+1\le j\le r+s$ , $\;r+1\le \sigma(j)\le r+s$ . Así, los términos no nulos son aquellos para los que la permutación $\sigma\in \mathfrak S_{r+s}$ es la concatenación de una permutación de $\mathfrak S_r$ y una permutación en $\mathfrak S_s$ y claramente la firma de $\sigma$ es el producto de las firmas de sus factores.

La fórmula de la primera fórmula del determinante sigue por distributividad.