Encontrar una base para el espacio nulo

Question

$A$ = \begin {bmatriz}-2 & 5 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & 2 \\ 6 & -14 & -13 & 1 \\ 0 & 0 &0 &0 \end {bmatrix}

Necesito encontrar el espacio nulo para esta matriz. Después de realizar las operaciones de fila $R_3 + 3R_1$ entonces $R_{new row 3}$ + $R_2$ , obtuve la forma escalonada de fila reducida. (la variable que elegí fue $x$ , $y$ , $z$ , $w$ ). He identificado las variables pivote como $x$ y $y$ después de expresar ambos en términos de las variables libres $z$ y $w$ Tengo $$\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ w\\ \end{bmatrix} = z \begin{bmatrix} 23/2\\ 4\\ 1\\ 0\\ \end{bmatrix} + w\begin{bmatrix} -11/2\\ -2\\ 0\\ 1\\ \end{bmatrix}$$ y, a continuación, elegir los dos vectores columna junto a $z$ y $w$ como base del espacio nulo. Sin embargo, la respuesta dada es $$\begin{bmatrix} 23\\ 8\\ 2\\ 0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 9\\ 4\\ 0\\ 2\\ \end{bmatrix}$$ . ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Si la matriz
$$ \begin{bmatrix}-2 & 5 & 3 & -1\\ 0 & 1 & -4 & 2\\ 6 & -14 & -13 & 1\\ 0 & 0 &0 &0\end{bmatrix} $$ La forma reducida de la matriz es $$ \begin{bmatrix}1 & 0 & -\frac{23}{2} & 0\\ 0 & 1 & -4 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 &0 &0\end{bmatrix} $$ Así que la base es $$ \begin{bmatrix}23 \\ 8 \\ 2 \\ 0\end{bmatrix} $$

Si la matriz es $$ \begin{bmatrix}-2 & 5 & 3 & -1\\ 0 & 1 & -4 & -2\\ 6 & -14 & -13 & 1\\ 0 & 0 &0 &0\end{bmatrix} $$ La forma reducida de la fila de la matriz es $$ \begin{bmatrix}1 & 0 & -\frac{23}{2} & -\frac{9}{2}\\ 0 & 1 & -4 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 &0 &0\end{bmatrix} $$ Así que la base es $$ \begin{bmatrix}23 \\ 8 \\ 2 \\ 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}9 \\ 4 \\ 0 \\ 2\end{bmatrix} $$