$X \sim \operatorname{Rice}(\nu,\sigma)$ ¿Cuál es la distribución de $X^2$ ?

Question

Dejemos que $X = |\nu e^{j\theta}+W|$ , donde $W \sim \mathcal{CN}(0,2\sigma^2)$ entonces $X\sim \operatorname{Rice}(\nu,\sigma)$ . ¿Cuál es la distribución de $X^2$ ?

Tenga en cuenta que $X$ también se puede escribir en términos de partes reales e imaginarias: $X = \sqrt{\Re(X)^2 + \Im(X)^2}$ , donde $\Re(X) \sim \mathcal N(\nu\cos\theta,\sigma^2)$ y $\Im(X) \sim \mathcal N(\nu\sin\theta,\sigma^2)$ :

\begin {Ecuación} \tag {1} f_{X}(x) = I_0 \bigg ( \dfrac {x- \nu }{ \sigma ^2} \bigg ) \dfrac {x}{ \sigma ^2} e^{- \dfrac {x^2+ \nu ^2}{2 \sigma }}. \end {Ecuación}

Sé que si $\sigma = 1$ la distribución es $X^2 \sim \chi_{2}^{,2} (\nu^2)$ es decir, una distribución chi-cuadrado no central con un parámetro de no centralidad $\nu^2$ y 2 grados de libertad... Pero lo que sucede para un factor arbitrario $\sigma$ ?

He intentado seguir la teoría y calcular la PDF de $X^2$ como lo siguiente:

Dejemos que $Y=X^2$ \begin {Ecuación} \tag {2} f_{Y}(y) = \frac {f_X( \sqrt {y})+f_X(- \sqrt {y})}{2 \sqrt {y}} \end {Ecuación}

Sin embargo, terminé con el resultado $f_Y(y)=0$ ( $I_0$ es simétrica), lo que supongo que no es correcto.

Aprecio mucho su ayuda, gracias.

Answer 1

Así que descubrí que si $X\sim Rice(\nu,\sigma)$ que $Y = \big(\frac{X}{\sigma}\big)^2 \sim \chi_2^2\Big(\big(\frac{\nu}{\sigma}\big)^2\Big)$ con $f_Y(y)$ .

Así que $X^2 = \sigma^2 Y$ es decir $f_{X^2}(x) = \frac{1}{\sigma^2}f_Y\big(\frac{x}{\sigma^2}\big)$ . Sin embargo, todavía no sé si se puede expresar en términos de una distribución.