Base ortonormal para un plano tangente

Question

Dada una variedad $M$ descrito por la gráfica de una función suave arbitraria $f:U \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ me gustaría construir una base ortonormal para su plano tangente $T_pM$ en cualquier punto $p \in M$ . Tenemos que

$$M = \Gamma(f) := \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : (x,y) \in U, \; z = f(x,y)\}.$$

La diferenciación parcial da como resultado

\begin {align} \Gamma_x &= (1,0,f_x), \\ \Gamma_y &= (0,1,f_y). \end {align}

Así, podemos tomar

\begin {align} \mathbf {e}_1 &:= \frac { \Gamma_x }{| \Gamma_x |} = \frac {1}{ \sqrt {1+f_x^2}} (1,0,f_x), \\ \mathbf {e}_2 &:= \frac { \Gamma_y }{| \Gamma_y |} = \frac {1}{ \sqrt {1+f_y^2}} (0,1,f_y), \end {align} como base $\mathbf{e}$ para $T_pM$ . Sin embargo, $\mathbf{e}$ es una base ortonormal si y sólo si $\langle\Gamma_x,\Gamma_y\rangle = 0$ que sólo es posible cuando $f_xf_y = 0$ .

Mi pregunta, por muy tonta que parezca, es: ¿Es siempre el caso que $f_xf_y = 0$ ? Porque ciertamente no lo parece. Si no es así, cómo se puede construir fácilmente una base ortonormal para $T_pM$ ?

Answer 1

El problema es que estás forzando $ \mathbf{e}_1 $ para que se acueste en el $ xz $ plano, y forzando $ e_2 $ para que se acueste en el $ yz $ plano.

Creo que una opción más agradable para una base ortonormal es la base con un vector a lo largo de las curvas de nivel de $ f $ y otro vector a lo largo de la dirección de mayor cambio (gradiente). Precisamente, $$ \mathbf{v}_1 = c_1 (-f_y, f_x,0) \\ \mathbf{v}_2 = c_2 ( f_x, f_y, f_x^2 + f_y^2) $$ donde $ c_1$ y $ c_2 $ son algunas constantes de normalización que puedes calcular. También puedes comprobar con bastante facilidad que $ v_1, v_2 $ están en el lapso de $ \Gamma_1 $ y $ \Gamma_2 $ .