Encontrar el generador del grupo cíclico $U(Z_{27})$

Question

$U(\mathbb{Z}_{27})$ es un grupo de orden $18$ .

$U(\mathbb{Z}_{27})=\{1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,26\}$

¿Cómo encuentro los generadores para demostrar que este grupo es cíclico?

El objetivo final es demostrar que el grupo $U(\mathbb{Z}_{54})$ es cíclico utilizando $U(\mathbb{Z}_{54})\cong U(\mathbb{Z}_{27})$ .

Answer 1

Una pista: En general, si $g$ es un generador de $U(p)$ entonces $g$ o $g+p$ es un generador de $U(p^n)$ para todos $n$ . Encontrar un generador para $U(3)$ es fácil...

Answer 2

En general, para un odd $p$ , si $g$ es un generador de $U(p)$ Uno de los $g$ o $g+p$ no es de orden $p-1$ en $U(p^2)$ ni puede ser de orden $p$ por el pequeño Fermat, por lo que es un generador de U(p^2). Se puede demostrar inductivamente que es un generador de $U(p^k)$ para cualquier $k\ge 2$ demostrando que no puede ser de orden $p^i$ o $p^i(p-1)$ para $i<k-1$ .

Answer 3

$U(\mathbb Z_{27}) = \{1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,23,22,25,26 \}.$ La afirmación es que es un grupo cíclico (con respecto a la multiplicación) y generado por $2.$

$2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^4 = 16, 2^5 = 32 = 5, 2 \cdot 5 = 10, 4 \cdot 5 = 20, 8 \cdot 5 = 40 = 13, 2 \cdot 13 = 26, 4 \cdot 13 = 52 = 25, 2 \cdot 25 = 50 = 23, 2 \cdot 23 = 46 = 19, \cdots$ (Creo que puedes terminarlo desde aquí).

Nota: No es necesario comprobar todas las potencias de $2.$ La idea es que si $x, y \in U(\mathbb Z_{27})$ son potencias de $2,$ entonces $xy$ es también una potencia de $2.$