Prueba $proj_{proj_{\vec u} \vec v} \vec v=proj_{\vec u} \vec v$

Question

¿Puede alguien mostrarme cómo probar: $proj_{proj_{\vec u} \vec v} \vec v=proj_{\vec u} \vec v$ ? Me confundí tratando de probarlo (no geométricamente)...

Gracias de antemano.

Answer 1

Observe que $proj_{\vec u} \vec v$ es siempre de la forma $c \vec u$ para alguna constante $c$ .

Por lo tanto, basta con demostrar que $proj_{\vec u} \vec v = proj_{\vec cu} \vec v$ para cualquier constante no nula $c$ que es bastante inmediato a partir de las definiciones. (En el caso de que $c = 0$ su ecuación no está bien definida).

Answer 2

Dejemos que $\langle \vec{a}|\vec{b} \rangle$ el producto interior de dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ . Tal vez no sea una notación que le resulte familiar. Pero es más organizada cuando se trata de escalares que son grandes expresiones algebraicas al multiplicar vectores. Recordemos que $\|a\|^2=\langle \vec{a}|\vec{a}\rangle$ . Tenga en cuenta que

1. $\langle proj_{\vec u} (\vec v) | \vec v\rangle = \left\langle \color{red}{\dfrac{\langle \vec u\big|\vec v\rangle }{\|\vec u\|^2}}\vec u \;\Bigg|\;\vec v \right\rangle = \color{red}{\dfrac{\langle \vec u\big|\vec v\rangle }{\|\vec u\|^2}}\left\langle \vec u\left|\right.\vec v\right\rangle = \color{blue}{\dfrac{\langle \vec u \left|\right. \vec v \rangle^2}{\|\vec u \|^2}}$

2. $\|proj_{\vec u} (\vec v)\|^2 = \langle proj_{\vec u} (\vec v) | proj_{\vec u} (\vec v)\rangle = \left\langle \color{red}{\dfrac{\langle \vec u\big|\vec v\rangle }{\|\vec u\|^2}}\vec u \;\Bigg|\; \color{red}{\dfrac{\langle \vec u\big|\vec v\rangle }{\|\vec u\|^2}}\vec u \right\rangle \\ \hspace{7cm} =\color{red}{\dfrac{\langle \vec u\big|\vec v\rangle }{\|\vec u\|^2}}\cdot \color{red}{\dfrac{\langle \vec u\big|\vec v\rangle }{\|\vec u\|^2}} \left\langle \vec u \left|\right. \vec u \right\rangle =\color{blue}{\dfrac{\langle \vec u \left|\right. \vec v \rangle^2}{\|\vec u \|^2}}$

implica
\begin {align} proj_{proj_{ \vec u} \vec v} ( \vec v) = & \frac { \langle proj_{ \vec u} ( \vec v) \big | \vec v \rangle {{{proj_{}} \vec u} ( \vec v)|^2} proj_{ \vec u} ( \vec v) = \frac { \color {Azul}{ \dfrac { \langle \vec u \left | \right. \vec v \rangle ^2}{\| \vec u \|^2}}} { \color {Azul}{ \dfrac { \langle \vec u \left | \right. \vec v \rangle ^2}{\| \vec u |^2}}proj_{ \vec u} ( \vec v) =proj_{ \vec u} ( \vec v) \\ \end {align}