¿Puede alguien mostrarme cómo probar: projproj→u→v→v=proj→u→vprojproj→u→v→v=proj→u→v ? Me confundí tratando de probarlo (no geométricamente)...
Gracias de antemano.
¿Puede alguien mostrarme cómo probar: projproj→u→v→v=proj→u→vprojproj→u→v→v=proj→u→v ? Me confundí tratando de probarlo (no geométricamente)...
Gracias de antemano.
Observe que proj→u→vproj→u→v es siempre de la forma c→uc→u para alguna constante cc .
Por lo tanto, basta con demostrar que proj→u→v=proj→cu→vproj→u→v=proj→cu→v para cualquier constante no nula cc que es bastante inmediato a partir de las definiciones. (En el caso de que c=0c=0 su ecuación no está bien definida).
Dejemos que ⟨→a|→b⟩⟨→a|→b⟩ el producto interior de dos vectores →a→a y →b→b . Tal vez no sea una notación que le resulte familiar. Pero es más organizada cuando se trata de escalares que son grandes expresiones algebraicas al multiplicar vectores. Recordemos que ‖a‖2=⟨→a|→a⟩∥a∥2=⟨→a|→a⟩ . Tenga en cuenta que
⟨proj→u(→v)|→v⟩=⟨⟨→u|→v⟩‖→u‖2→u|→v⟩=⟨→u|→v⟩‖→u‖2⟨→u|→v⟩=⟨→u|→v⟩2‖→u‖2⟨proj→u(→v)|→v⟩=⟨⟨→u∣∣→v⟩∥→u∥2→u∣∣∣→v⟩=⟨→u∣∣→v⟩∥→u∥2⟨→u|→v⟩=⟨→u|→v⟩2∥→u∥2
‖proj→u(→v)‖2=⟨proj→u(→v)|proj→u(→v)⟩=⟨⟨→u|→v⟩‖→u‖2→u|⟨→u|→v⟩‖→u‖2→u⟩=⟨→u|→v⟩‖→u‖2⋅⟨→u|→v⟩‖→u‖2⟨→u|→u⟩=⟨→u|→v⟩2‖→u‖2
implica
\begin {align} proj_{proj_{ \vec u} \vec v} ( \vec v) = & \frac { \langle proj_{ \vec u} ( \vec v) \big | \vec v \rangle {{{proj_{}} \vec u} ( \vec v)|^2} proj_{ \vec u} ( \vec v) = \frac { \color {Azul}{ \dfrac { \langle \vec u \left | \right. \vec v \rangle ^2}{\| \vec u \|^2}}} { \color {Azul}{ \dfrac { \langle \vec u \left | \right. \vec v \rangle ^2}{\| \vec u |^2}}proj_{ \vec u} ( \vec v) =proj_{ \vec u} ( \vec v) \\ \end {align}
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