Encuentra una fórmula explícita para la recurrencia $a_n = n(a_{n-1} + a_{n-2})$ sabiendo que $ a_0=1$ y $a_1=2$ .

Question

Lo que he intentado hacer es definir una serie de potencia formal tal que $$A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n \dfrac{x^n}{n!}$$ Usando mi relación de recurrencia encuentro que $A(x)-1-2x = x(A(x)-1)+ \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}na_{n-2} \dfrac{x^n}{n!}$ No sé cómo proceder después de esto.

Answer 1

A menudo, el uso de funciones generadoras exponenciales para resolver una recurrencia se reduce a resolver una ecuación diferencial.

Puedes reescribir tu última suma en términos de $\int A(x)\,dx$ : $$\sum_{n=2}^\infty na_{n-2}\frac{x^n}{n!}=x\sum_{n=2}^\infty a_{n-2}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=x\sum_{n=0}^\infty a_{n}\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}=x\cdot\int A(x)\,dx$$ Esto le da una ecuación diferencial en $A(x)$ : $$ A(x)-1-2x=x(A(x)-1)+x\int A(x)\,dx $$ Para que esto parezca una ecuación lineal de primer orden más estándar, dejemos que $B(x)=\int A(x)\,dx$ Así que $$ B'(x)-1-2x = x(B'(x)-1)+xB(x) $$ y luego utilizar el método estándar para resolver (factor integrador, etc).