Definición de subálgebra

Question

Si A es un álgebra sobre un campo K, y B es una subálgebra, ¿debe ser B un álgebra sobre K o puede ser también un álgebra sobre algún subcampo de K?

Por ejemplo, si toma $\mathbb{R}$ como un álgebra sobre $\mathbb{R}$ ¿sería correcto llamar a $\mathbb{Q}$ una subálgebra, ya que es un álgebra sobre $\mathbb{Q}$ ? Yo pensaría que no, pero parece que satisface todos los axiomas.

Answer 1

No, por la misma razón que no es sensato llamar a un subconjunto de $\Bbb R^n$ que es un $\Bbb Q$ espacio vectorial un "subespacio de $\Bbb R^n$ . Muchas cosas se romperían, sobre todo los teoremas de dimensión.

Para ambos vectores $F$ espacios vectoriales y $F$ -se da a entender que los subobjetos heredan la misma operación de escalado con elementos de $F$ .