Dejemos que $P$ denotan el espacio cociente obtenido por la acción de $\mathbb{Z}\backslash2\mathbb{Z}$ por el mapa $z\mapsto\frac{1}{z}$ en la esfera de riemann $\hat{\mathbb{C}}$ (identificado aquí con $\mathbb{C}\cup\left\{\infty\right\}$ ). Identifico $P$ con el conjunto:
$Q=\left\{ z\in\mathbb{C}:\left|z\right|<1\right\} \cup\left\{ e^{it}:0\leq t\leq\pi\right\} $
es decir, uso elementos de $Q$ como los representantes de las clases de equivalencia en $P$ . Obsérvese que se trata de una identificación válida, ya que cada elemento del espacio orbital de $z\mapsto\frac{1}{z}$ en $\hat{\mathbb{C}}$ está atestiguado por exactamente un punto en $Q$ . Necesito una fórmula para una función $f:Q\times Q\rightarrow[0,\infty)$ tal que $f$ es una métrica en $P$ . Para que quede claro, no quiero una explicación de cómo obtener dicha fórmula; quiero la fórmula .
Una analogía por si aún no me he explicado bien: supongamos que me pregunto por el área de un cuadrado de lado $s$ . Las respuestas que he recibido hasta ahora para mi pregunta son similares a decir "multiplica $s$ por sí mismo" o "utilizar la fórmula del área de un cuadrado". La respuesta que busco es similar a decir " $s^{2}$ ". Necesito el fórmula . Y por favor, nada de expresiones con diferenciales, ni matrices, ni nada de eso. Necesito saber cómo calcular la métrica utilizando los números complejos del conjunto indicado que he identificado con $P$ .
Como nota, he encontrado algo llamado la "métrica Fubini-Study" en la wikipedia. Me parece que podría acercarse a lo que necesito, pero por desgracia, el uso de notaciones y convenciones de geometría diferencial y álgebra multilineal hace que el artículo de la wikipedia sea prácticamente ininteligible para mí. Si alguien pudiera darme una fórmula para calcular esta métrica utilizando los números complejos del conjunto $Q$ Se agradecería mucho, suponiendo que esta métrica de Fubini-Study se acerque a lo que realmente pido.
Esto no es para los deberes ni para nada. Estoy haciendo una investigación (en teoría analítica de números), y necesito saber una fórmula para dicha métrica para poder seguir adelante y demostrar si un determinado mapa es o no una contracción. He estado haciendo un progreso estelar con mi investigación, y por eso es extremadamente frustrante que mi trabajo se detenga por falta de una fórmula sencilla.
Para sus respuestas, suponga que no sé nada de geometría diferencial, geometría riemanniana, tensores, métricas riemannianas, pullbacks, tensores métricos, geometría proyectiva, álgebra multilineal, formas diferenciales, espacios tangentes, haces tangentes, mapas de cobertura, proyecciones estereográficas (etc.). Esto (obviamente) no es cierto, pero lo digo porque quiero estar absolutamente seguro de que una persona que responda a mi pregunta entiende el tipo de respuesta que estoy buscando. No hay que ser tan tonto.
Si no existe tal fórmula, entonces trata de explicar lo que tengo que hacer de la manera más metódica y algorítmica posible, y por favor, no omitas ningún paso.
Por favor... ayuda .
