Como sabemos que realizamos la transformada de Fourier en el caso de funciones continuas y "no periódicas", mientras que el seno y el coseno son funciones "periódicas", entonces ¿por qué realizamos la transformada de Fourier del seno y el coseno?
¿Podemos realizar la transformada de Fourier de una función periódica? Si es así, ¿por qué realizamos la transformada de Fourier en lugar de la serie de Fourier?
La suya es una pregunta mucho mejor de lo que puede parecer a primera vista.
La transformada de Fourier de un seno/coseno es un par de deltas de Dirac \$\delta\$ funciones en \$\pm f_c\$ . La función delta de Dirac puede pensarse como el equivalente en frecuencia continua de los coeficientes de frecuencia discreta de la expansión de la serie de Fourier .
La razón por la que los mezclamos en EE es por conveniencia analítica. Mira el siguiente ejemplo.
Supongamos que, como parte de un sistema de transmisión, tenemos un modulador que toma una señal de banda base \$x(t)\$ y modula una portadora \$\cos(\omega_c t)\$ con ella, de manera que se obtiene una señal modulada \$s(t)=x(t)\cos(\omega_c t)\$ .
Si luego queremos calcular el espectro \$S(f)\$ de la señal modulada \$s(t)\$ nosotros hacer necesitan la transformada de Fourier de la portadora \$\cos(\omega_c t)\$ . En este caso:
$$ S(f) = \frac{1}{2} [X(f-f_c)+X(f+f_c)] $$
donde \$X(f)\$ es la transformada de Fourier (también conocida como espectro) de \$x(t)\$ .
Así, los componentes espectrales de la señal de banda base de \$x(t)\$ se han "desplazado hacia arriba en el espectro de frecuencias" en torno a la portadora \$f_c\$ . Este resultado es la piedra angular de las comunicaciones por radio.
Pero, ¿cómo hemos obtenido el resultado anterior, que parece engañosamente sencillo? Se obtiene a partir de la convolución de \$X(f)\$ con la transformada de Fourier de la portadora (el par delta de Dirac que mencionamos al principio). Este sencillo cálculo no podría haberse realizado sin utilizar la transformada de Fourier de la función seno/coseno. Por eso la definimos: porque la necesitamos.
Al final, la cuestión es que en EE solemos utilizar funciones periódicas seno/coseno junto con la señal aperiódica portadora de información, y tenemos que analizarlos juntos dentro del mismo marco matemático la transformada de Fourier.
Uh, este es un tema muy extenso, y no puedo ni trato de responderlo, pero puedo darte algunas pistas:
Ya entonces, cuando el Sr. Fourier publicó su transformada, el pecado y el cos se entendían muy bien. Esto llevó a una amplia comprensión y posterior adaptación de su concepto. En cierto sentido, la elección de sen era también la más fácil, porque incluso si no se ha entendido la transformada por completo, se puede entender la idea de "escupir una señal compleja en un montón de señales simples".
También hay otras transformadas de estilo Fourier. No sólo hay pecado y cos. Sólo para nombrar un ejemplo aquí:
La Transformada de Walsh hace básicamente lo mismo que la Transformada de Fourier pero se basa en un grupo de señales de onda cuadrada. Sí. Uno y cero. No hay ningún punto de flotación desagradable involucrado :-)
Trabajando con señales binarias, la transformada de Walsh tiene algunas buenas propiedades si tienes que implementarla en hardware, pero el inconveniente es que los resultados que obtendrás no son en general tan fáciles de utilizar. Por muy fácil que sea la implementación en hardware, más difícil es su uso :-)
Además de estos dos extremos, hay montones de otras transformaciones de estilo Fourier. La más grande e importante es probablemente la transformada Wavelet, que no utiliza una función de base fija. Puedes crear tus propias funciones siempre que cumplas algunas reglas.
Por cierto, los armónicos no existen. Lo que se ve, en cambio, es el resultado de la correlación con las funciones de base sin/cos a N*Fbinspacing, siendo N un número entero.
Si tu única herramienta es un sin/cos, las matemáticas se ven obligadas a forzar la energía en esos "armónicos".
Es útil saber esto, porque puedes diseñar tus sistemas para que sean más inmunes a las sobrecargas o a las interferencias en presencia de lo que se dice que son "armónicos".
Me desconcierta esta afirmación. Los armónicos existen y se producen en grandes cantidades en todos los instrumentos musicales y en los osciladores de mi laboratorio.
Cuando tu única herramienta es el martillo y el clavo, todo se martilla o se clava. Como sugiero, la correlación inyecta la energía en tu sistema. Tienes la oportunidad de diseñar el sistema para que tolere esa energía, por eso los IP2 e IP3 grandes son valiosos en sistemas de RF con canales a horcajadas sobre frecuencias "armónicas".
"Frecuencia" no es más que el número utilizado para describir la periodicidad de la función de base que muestra una alta correlación con la forma de onda original.
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Las transformadas de Fourier convierten una señal del dominio temporal al dominio frecuencial y viceversa. El uso de una u otra depende de cuál sea más útil, lo que a su vez depende de lo que estemos haciendo.
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¿Cuál es su sugerencia para una alternativa mucho mejor? ¿Bioritmos?
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No está claro lo que pregunta. ¿Preguntas por qué podemos hacer una FFT de un seno o coseno puro (y obtener una distribución como respuesta), o preguntas por qué, desde que descomponemos funciones aperiódicas en sumas (infinitas) de funciones periódicas, la herramienta de las series de Fourier ya no es un enfoque viable?
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He escrito FFT más arriba, cuando debería haber escrito FT.
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Sugiero no cerrar esta pregunta. Es una pregunta muy interesante (y legítima) sobre por qué utilizamos unas herramientas analíticas (matemáticas) en lugar de otras. Tiene implicaciones prácticas en la teoría de señales.
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Voto por cerrar esta pregunta como off-topic porque pertenece a Math SE.
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También creo que debería seguir abierta, sobre todo porque tiene una buena respuesta adaptada a EE.
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No tienes que hacerlo, mira la descomposición wavelet