Demostrar que el rango( $A$ )=rank( $B$ ) si $A+B=AB,\ and\ A,B \in M_n(F)$ .

Question

Dejemos que $A,B$ sean matrices $n\times n$ $(A, B \in M_{n\times n}(F))$ y $A+B=AB$ .

¿Cómo podemos demostrar que "rank( $A$ )=rank( $B$ )".

He demostrado que $AB=BA$ por $(A-E)(B-E)=E\ $ pero parece que no tiene sentido.

Answer 1

Sabemos que para un $n\times n$ matriz $M$ \begin {equipo}rank(M)=n-{ \text nulidad}(M), \end {Ecuación} donde la nulidad es la dimensión del espacio solución de $M$ .

Tenemos \begin {ecuación}A+B=AB \N - \Rightarrow \ A^{T}+B^{T}=B^{T}A^T \end {Ecuación} Por lo tanto, para $x$ en el espacio de soluciones de $B$ ( $Bx=0$ ), la primera ecuación da que $x$ también está en el espacio de soluciones de $A$ . Por lo tanto, la nulidad de $A$ es mayor o igual a la nulidad de $B$ . De la ecuación relativa al rango anterior, se deduce que \begin {equipo}rank(A) \leq rango(B). \end {Ecuación} Desde $A^{T}+B^{T}=B^{T}A^T$ obtenemos $B^T=(I-B^T)A^T$ Así que si $z$ está en el espacio de soluciones de $A^T$ entonces está en el espacio de soluciones de $B^T$ . (Las columnas de $A^T,B^T$ son filas de $A$ y $B$ respectivamente, y $z\neq 0$ está en el espacio de soluciones de $A^T$ significa que hay una combinación no trivial de sus vetos de columna que se suma al vector cero). Por lo tanto, $B$ tiene al menos tantas filas linealmente dependientes como $A$ . Por lo tanto, \begin {equipo}rank(B) \leq rango(A). \end {Ecuación} Combinando las dos desigualdades se obtiene el resultado.