Buenas noches a todos. La derivada está definida en el siguiente orden: $$ \frac{d}{dx} f(x)=\frac{{-x^2-x+11}}{\left(x+3\right)^2}e^{2-x}\:$$ para $ x < -3 $ $$\:\frac{d}{dx}f(x)=\frac{{x^2+x-11}}{\left(x+3\right)^2}e^{2-x} $$ para $ -3< x< 2 $ y $$ \frac{d}{dx}f(x) = \frac{{x^2+x+1}}{\left(x+3\right)^2}e^{x-2} $$ para $x>2$. Si tomas el signo del primero será $$ {x^2+x-11} < 0 $$ por lo tanto solo $$ x_1 = \frac{-1+\sqrt{45}}{2} $$ cumple las condiciones, para el segundo es $$ {x^2+x-11} > 0 $$ entonces $x_1 = \frac{-1+\sqrt{45}}{2}$ y $ x_1 = \frac{-1-\sqrt{45}}{2}$ , el último es $$ {x^2+x+1} > 0 $$ tiene soluciones $ x_1= \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ y $ x_2 = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2} $(aquí creo que cometí un error). Por lo tanto nuestra función debería aumentar en el intervalo $ (-\infty, \frac{-1-\sqrt{45}}{2}) $ luego disminuir en el intervalo $ (\frac{-1-\sqrt{45}}{2},\frac{-1+\sqrt{45}}{2}) $ luego aumentar nuevamente en el intervalo $(\frac{-1+\sqrt{45}}{2}, \frac{-1-i\sqrt{3}}{2})$ y disminuir nuevamente en $(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2},\infty)$. Pero en lugar de eso, las soluciones de la tercera ecuación son $x_1 = \frac{-1-\sqrt{5}}{2} $ y $ x_2 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$. Y está disminuyendo en $ (-\infty, \frac{-1-\sqrt{45}}{2}) $, luego aumentando en $ (\frac{-1-\sqrt{45}}{2}, -3) $ luego disminuyendo en $(-3,2)$ luego aumentando de nuevo en $ (2,\infty)$. No entiendo dónde está mi error.. ni con los resultados de las ecuaciones cuadráticas ni con los intervalos de monotonía (signo) de la derivada.
¿Puedo preguntar cómo llegaste a la conclusión de que para $x < -\frac{1+3\sqrt{5}}{2}$ $ \frac{d}{dx}\left(f\left(x\right)\right) < 0 $ porque mis cálculos me dan $ x $ pertenece a $$( -\frac{1+3\sqrt{5}}{2}, -\frac{1-3\sqrt{5}}{2}) $$ así que $ \frac{d}{dx}\left(f\left(x\right)\right) <0 $ solo en este intervalo, por lo que no tiene en cuenta $(-\infty, -\frac{1+3\sqrt{5}}{2})$
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Voy a asumir que los derivados dados son los que se pretenden. El más fácil es el intervalo $(2,\infty)$, ya que la derivada está definida en todo ese intervalo, y es positiva, por lo que la función es creciente. Ahora vamos a tratar con $x\lt -3$. Nuevamente, la derivada está definida en todas partes. Es negativa para $x\lt (-1-\sqrt{45})/2$, y positiva en el intervalo $(-1-\sqrt{45})/2,3)$, por lo que es decreciente en $(-\infty,(-1-\sqrt{45})/2$ e incrementando en $(-1-\sqrt{45})/2,3)$. El último intervalo se trata de manera similar.
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Si la hoja de soluciones dice que las soluciones de la tercera ecuación son $(-1\pm\sqrt{5})/2$, entonces la hoja de soluciones tiene un error o el numerador debería ser $x^2+x-1. Pero no importa para la parte creciente/decreciente, ya que estas dos raíces no están en $(2,\infty)$. Si el numerador es $x^2+x+1$, como en el mensaje, las dos raíces son no reales, y nuevamente concluimos que la derivada es positiva en $(2,\infty)$.
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@Andre Nicolas ¡Gracias! ¡Entendí perfectamente! :)
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¡De nada! Te encontraste con dificultades porque intentaste tratar los tres intervalos simultáneamente.