¿El mapa exponencial es alguna vez no inyectivo?

Question

Dejemos que $G\subseteq GL_n(\mathbb R)$ y que $\mathfrak g$ denotan su álgebra de Lie.

Dejemos que $e: \mathfrak g \to G$ sea el mapa $X \mapsto e^X$ .

¿Existe un ejemplo de $G$ y $\mathfrak g$ tal que $e$ es no es inyectiva?

Por supuesto creo que la respuesta es no, no hay tal ejemplo porque $e: \mathbb R \to \mathbb R$ es inyectiva.

¿Qué pasa con $G\subseteq GL_n(\mathbb C)$ ?

Dado que el mapa es el mismo, vuelvo a pensar que no debería existir tal ejemplo.

Answer 1

Como simple contraejemplo: El grupo $SO(2) \subset GL_2(\mathbb{R})$ es isomorfo a $\mathbb{S}^1$ su álgebra de Lie es el espacio de las matrices simétricas, y su mapa exponencial viene dado por $$ e : \left( \begin{array}{cc} 0 & t \\ -t & 0 \end{array} \right) \mapsto \left( \begin{array}{cc} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{array} \right) $$ que no es inyectiva.