¿Qué es la convolución intuitivamente?

Question

Si la variable aleatoria $X$ tiene una distribución de probabilidad de $f(x)$ y la variable aleatoria $Y$ tiene una distribución de probabilidad $g(x)$ entonces $(f*g)(x)$ la convolución de $f$ y $g$ es la distribución de probabilidad de $X+Y$ . Esta es la única intuición que tengo de lo que significa la convolución.

¿Existen otros modelos intuitivos para el proceso de convolución?

Answer 1

Recuerdo que, cuando era estudiante de posgrado, Ingrid Daubechies se refería con frecuencia a la convolución mediante una función de protuberancia como un "desenfoque": su efecto en las imágenes es similar al que experimenta una persona miope cuando se quita las gafas (y, de hecho, si se trabaja con la óptica geométrica, la convolución no es una mala primera aproximación para este efecto). Me pareció muy útil, no sólo para entender la convolución en sí, sino como lección de que hay que intentar usar la intuición física para modelar conceptos matemáticos siempre que se pueda.

En términos más generales, si se piensa en las funciones como versiones difusas de los puntos, la convolución es la versión difusa de la suma (o a veces de la multiplicación, según el contexto). La interpretación probabilística es un ejemplo de esto (donde la pelusa es una distribución de probabilidad), pero también se pueden tener pelusas con signo, con valores complejos o con valores vectoriales, por supuesto.

Answer 2

Prefiero el sonido a la luz de Terry Tao. Escucha mi voz a través de una pared. En cada momento, no sólo oyes lo que estoy diciendo ahora, sino también alguna reverberación de lo que he dicho hace unos momentos. Así que si hago un sonido dado por $f(t)$ (densidad del aire), se escucha una combinación lineal $h(0)f(t) + h(1)f(t-1) + h(2)f(t-2) + \dots$ o una versión continua de la misma, es decir $h*f$ . La función $h(\tau)$ es lo mucho que se escucha de $\tau$ segundos antes de la hora actual. Si $h(\tau)$ decae lentamente, mi voz está amortiguada por la reverberación.

La teoría de Fourier muestra que recuperar mi voz $f(t)$ es difícil cuando $\hat{h}(\xi)$ es muy pequeño en algunas frecuencias $\xi$ La pared no vibra a esas frecuencias.

Si $h(\tau) \ne 0$ para algunos negativos $\tau$ ¡puedes oírme antes de que hable!

Answer 3

Qué es el operador $C_f\colon g\mapsto f*g$ ? Considere el operador de traducción $T_y$ definido por $T_y(g)(x)=g(x-y)$ y mira $f*g(x)=\int_{\mathbb{R}}f(y)g(x-y) \, dy$ . Reescribiendo esto como un operador sacando $g$ se llega a la ecuación del operador $$C_f=\int_{\mathbb{R}}f(y)T_y \, dy.$$ Esto es sólo formalmente correcto, por supuesto, pero dice aproximadamente que la convolución con $f$ es una combinación lineal de operadores de traslación, siendo la integral una especie de suma generalizada.

Enlazando esto con la respuesta de Terry Tao, que llegó mientras escribía lo anterior, si $f$ es una función de protuberancia, digamos no negativa, con integral igual a 1 y concentrada cerca del origen, entonces $f*g$ es una combinación lineal (generalizada) de traslaciones de $g$ Cada una de ellas se tradujo a una corta distancia, de ahí lo borroso del resultado.

Answer 4

Entre las cosas que es bueno saber sobre la convolución es que el elemento de identidad para la convolución es la función delta de Dirac $\delta$ .

Otra es que si conviertes una función $f$ con $\delta'$ la derivada de la función delta, se obtiene $f'$ . Como la convolución es asociativa, eso implica que $f'*g = f*g'$ .

Otra es que a menudo la convolución de dos funciones se comporta tan bien como la mejor de las dos. Si se convoca algo con una función suave, se obtiene una función suave; si se convoca algo con un polinomio, se obtiene un polinomio. En otras palabras, muchas clases de funciones "bien comportadas" son ideales en un anillo cuya multiplicación es la convolución.

Así que si conviertes $f$ con una aproximación suave a la función delta de Dirac, se obtiene una aproximación suave a $f$ . Pensar en por qué funciona eso probablemente puede arrojar mucha luz intuitiva sobre la naturaleza de la convolución.

Answer 5

Creo que los criterios de intuición de cada uno dependen en gran medida de su formación. Aunque una imagen parezca poco intuitiva al principio, puede ser útil después.

1. Si eres un algebrista, te sugeriría la operación de multiplicación en anillos de grupos o anillos de monoides (el ejemplo más fácil: anillos de polinomios).
2. Si te gustan los operadores diferenciales o integrales, te sugeriría convolucionar con derivadas de funciones delta y Heaviside para realizar derivadas e integrales.
3. Si te gusta multiplicar números grandes (o series de potencias) juntos, la convolución en los lugares (posiblemente con un acarreo) es el proceso por el que se hace esto.