GCD de $f=X^3 +9X^2 +10X +3$ y $g= X^2 -X -2$ en $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ .

Question

Tengo que calcular el gcd de $f=X^3 +9X^2 +10X +3$ y $g= X^2 -X -2$ en $\mathbb{Q}[X]$ y $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ .

En $\mathbb{Q}[X]$ Lo tengo. $X+1$ es un gcd y por tanto $r(X+1)$ desde $\mathbb{Q}$ es un campo.

Pero no sé cómo hacer la división polinómica en $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ . ¿Puede alguien ayudarme, por favor?

Gracias.

Answer 1

Tienes el GCD en $\mathbb Z[X]$ es decir $X+1$ . El GCD en $\mathbb Z / 5 \mathbb Z[X]$ se obtiene reduciendo cada coeficiente del GCD en $\mathbb Z$ en $\mathbb Z / 5 \mathbb Z$ .

Lo que significa que el GCD en $\mathbb Z / 5 \mathbb Z[X]$ es igual a $\bar{1}X + \bar{1} = X + \bar{1}$ .

Answer 2

HINT

Es fácil ver que $x^2-x-2 = (x+1)(x-2)$ , pero en $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ tienes $5 \equiv 0$ Así que $$ x^3+9x^2+10x+3 \equiv x^3-x^2+3 = (x+1)\times \ldots $$