Si $A$ y $B$ son $n\times n$ demostrar que $|(A^TB)|^2\leq|A^TA||B^TB|$ ¿cuándo es esto una igualdad?

Question

Dejemos que $A$ y $B$ ser cuadrado $n$ -matrices. Demostrar que $|(A^TB)|^2\leq|A^TA||B^TB|$ . Además, ¿en qué circunstancias son iguales el lado izquierdo y el derecho?

Lo he intentado varias veces, ambos lados deben ser definitivamente positivos y desde $|A^TA|=|AA|$ y $|AA|=|A||A|$ y así sucesivamente, sólo conseguiría que $|A||A||B||B|=|A||A||B||B|$ , lo cual es obviamente erróneo. El único problema que veo es que no entiendo por qué $(A^TB)$ está entre paréntesis y $A^TA$ y $B^TB$ no lo son.

Answer 1

Si $|X|$ es el determinante de una matriz $X$ (como se señala en su comentario), entonces como usted dijo, $|A^TB|^2=\left(|A||B|\right)^2=|A|^2|B|^2=|A^TA||B^TB|$ . Por lo tanto, la igualdad siempre se mantiene. Es sólo una cuestión de gusto para poner $A^TB$ dentro de un par de paréntesis; me sorprende que esto pueda ser una fuente de confusión.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que, como sugieren los demás, el problema original es quizás demostrar que $\|A^TB\|^2\le\|A^TA\|\|B^TB\|$ para algunos norma de la matriz $\|\cdot\|$ . Asegúrese de que no ha entendido mal la pregunta.

Answer 2

Tenga en cuenta que si utiliza la norma de Frobenius, entonces $|AB|_F\leq|A|_F|B|_F$ .