Hay razones para que cualquier ejemplo moderno se parezca al estado de la constante de Legendre. La mayoría de los números interesantes (pero no todos) admiten un algoritmo de tiempo polinómico para calcular sus dígitos. De hecho, hay una interesante semi-revisión de Borwein y Borwein que muestra que la mayoría de los números habituales en el cálculo (por ejemplo, $\exp(\sqrt{2}+\pi)$ ) tienen un quasilineal algoritmo de tiempo en una máquina RAM, lo que significa $\tilde{O}(n) = O(n(\log n)^\alpha)$ tiempo de cálculo $n$ dígitos. Una vez que tenga $n$ dígitos, se puede utilizar el algoritmo de la fracción continua para encontrar la mejor aproximación racional con un máximo de $n/2-O(1)$ dígitos en el denominador. El algoritmo de la fracción continua es equivalente al algoritmo euclidiano, que también tiene una versión de tiempo cuasilineal según Wikipedia.
La constante de Euler se ha calculado casi 30.000 millones de dígitos utilizando un algoritmo de tiempo cuasilineal de Brent y McMillan.
Por ello, es difícil sorprenderse de una cifra así. Se necesitaría una coincidencia matemática de que el número es racional, pero con un denominador que está fuera del alcance de los ordenadores modernos. (Esta fue la motivación declarada por Brent y MacMillian en el caso de la constante de Euler). Creo que sería bastante noticiable si ocurriera. Por otro lado, si sólo puedes calcular los dígitos muy lentamente, entonces tu situación se parece a la de Legendre.
Recibí un correo electrónico pidiendo una referencia al artículo de Borwein y Borwein. El artículo es Sobre la complejidad de las funciones y los números familiares . Para resumir la parte relevante de este artículo de estudio, cualquier valor o valor inverso de una función elemental en el sentido del cálculo, incluyendo también las funciones hipergeométricas como primitivas, se puede calcular en tiempo cuasilineal. Lo mismo ocurre con la función gamma o zeta evaluada en un número racional.
