Resolver $x^2+bx^{1+\varepsilon}+c =0$

Question

Dejemos que $x \in \mathbb{R}$ . ¿Es posible encontrar las raíces de $x^2+bx^{1+\varepsilon}+c =0$ donde $b,c \in \mathbb{R}$ y $\varepsilon$ es pequeño. Supongo que una expresión explícita no es posible, pero ¿es posible escribir las raíces como una expansión?

Answer 1

Escriba $x^{\epsilon} = e^{\epsilon \log{x}} = 1 + \epsilon \log{x} + O(\epsilon^2)$ . Por lo tanto, a la orden zeroth,

$$x_0^2+b x_0+c=0 \implies x_0 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 c}}{2}$$

Escribe la solución como $x = x_0 + \epsilon x_1 + \epsilon^2 x_2 + \cdots$ . Vamos a encontrar $x_1$ igualando los coeficientes de $\epsilon$ :

$$(x_0+\epsilon x_1)^2 + b (x_0+\epsilon x_1) (1+\epsilon \log{(x_0 + \epsilon x_1)}) + c=0$$

Ahora $\log{(x_0+\epsilon x_1)} = \log{x_0} + O(\epsilon)$ . Así, para $O(\epsilon)$ tenemos

$$x_0^2+b x_0+c + \epsilon (2 x_0 x_1+ b x_1+b x_0 \log{x_0})=0$$

La cuadrática es cero por definición. La cantidad entre los paréntesis, la ponemos a cero y resolvemos para $x_1$ :

$$x_1 = -\frac{b \,x_0 \log{x_0}}{b+2 x_0}$$

Por lo tanto, tenemos $x=x_0+\epsilon x_1 + O(\epsilon^2)$ . Así, el procedimiento puede llevarse a cabo en un orden arbitrario.

Nota: por razones prácticas, debe tener cuidado si una o ambas soluciones $x_0$ son negativos o complejos. No voy a entrar en detalles aquí, así que lo anterior supone $x_0 \gt 0$ .

EDITAR

@Michael señala correctamente que la expansión anterior no es válida en el caso de una raíz doble donde $2 x_0+ b=0$ . En este caso, se necesita una expansión diferente. Es decir, suponer que

$$x=x_0+\epsilon^a x_1 + \cdots$$

para algún valor real de $a$ . Haciendo la expansión, encontramos que $a=1/2$ . Para encontrar $x_1$ escribimos

$$(x_0+\epsilon^{1/2} x_1 + \epsilon x_2)^2 + b (x+0 + \epsilon^{1/2} x_1 + \epsilon x_2) (1+\epsilon \log{x_0}) + c=0$$

Recogida de pedidos de $\epsilon$ Me sale

$$x_0^2+b x_0+c + \epsilon^{1/2} (2 x_0 x_1 + b x_1) + \epsilon (x_1^2 + b x_0 \log{x_0} + 2 x_0 x_2 + b x_2)=0$$

Utilizando el hecho de que $2 x_0+b=0$ para la raíz doble, encontramos que

$$x_1^2 = -b x_0 \log{x_0}$$

que impone restricciones a $x_0$ para una solución real.