Muletas intuitivas para el pensamiento dimensional superior

Question

Una vez escuché un chiste (no muy bueno, lo admito...) sobre el pensamiento dimensional superior que decía lo siguiente

Un ingeniero, un físico y un matemático discuten sobre cómo visualizar las cuatro dimensiones:

Ingeniero : Nunca lo entiendo

Físico : Oh, es muy fácil, sólo imagina un espacio tridimensional sobre un tiempo que añade su cuarta dimensión.

Matemático : No, es mucho más fácil que eso; sólo imagina $\mathbb{R}^n$ entonces establece n igual a 4.

Ahora bien, si alguna vez se ha encontrado con algo manifiestamente cuatridimensional (en contraposición a 3+1 dimensiones) como la unión de 2 esferas, queda bastante claro que lo que dice el físico no es suficiente o, al menos, necesita algo más de elaboración tal como está.

La respuesta del matemático es abstrusa por el diseño de la broma, pero, modulando algunos gráficos y delimitando los 3 pliegues, parece ser ciertamente la perspectiva dominante, al menos en los artículos publicados. La situación me recuerda la vieja cita de Von Neumann sobre "...nunca entiendes las cosas. Sólo te acostumbras a ellas", y quizás eso es lo mejor que se puede hacer en esta situación.

Pero una de las principales razones de mi interés por la geometría es la intuición adicional que se obtiene al estar en un espacio un poco parecido al propio, y sería una pena perder eso tan bruscamente, de la forma en que lo hace el ingeniero, al ir más allá de las 3 dimensiones.

Lo que busco, de esta comunidad de matemáticos incontablemente sabios y más experimentados que yo, es una muleta -cualquier cosa que facilite ver, por ejemplo, el enlace de las esferas-, ya sean simples trucos, artículos útiles o diagramas motivacionales esotéricos (pero, espero, finalmente útiles): cualquier cosa que me ayude a ser mejor que el ingeniero.

Se aplican las normas de la wiki comunitaria: una idea por mensaje, etc.

Answer 1

De niño, me asombraba cuando leía que Einstein unificaba el espacio y el tiempo en un continuo de cuatro dimensiones. Tenía la idea de que, para entender la relatividad, había que visualizar las cuatro dimensiones como se hace con las tres. Pero sabía que la evolución no cableó nuestro cerebro para esto. Así que imaginé que los extraterrestres tienen órganos capaces de percibir imágenes en 3D, no proyectadas en una retina 2D, y que pueden utilizar un par de tales órganos para la visualización estereoscópica en 4D...

Con el tiempo, me di cuenta de que hay formas más sencillas. Por supuesto, depende del problema, pero en la gran mayoría de los casos, cuando se está interesado en un dominio que implica un pensamiento de dimensiones superiores, basta con sumergirse en ese dominio y empezar a aprender lo que se sabe. Los que desarrollaron el dominio tenían los mismos problemas de intuición cuando se trataba de dimensiones superiores, así que en general, los métodos que desarrollaron son incrementales. Cada avance aclara más y más, así que sólo hay que seguir su curva de aprendizaje y construir cada músculo de dimensión superior a la vez.

Hay resultados en los que uno no se encuentra con grandes sorpresas en las dimensiones superiores, dominándolas primero. El álgebra lineal es casi completamente independiente del número de dimensiones. Luego, puedes aprender geometría afín. Grupos ortogonales. Las álgebras de Clifford tienen algunas particularidades dependiendo de la dimensión, pero las características principales se repiten a partir de 8 dimensiones.

Las mayores sorpresas aparecen en la topología de mayor dimensión. Pero aquí también hay herramientas que funcionan independientemente del número de dimensiones. Por ejemplo, muchas cosas pueden entenderse triangulando los espacios topológicos (utilizando complejos simpliciales). Además, las variedades diferenciables son localmente similares a los espacios vectoriales, así que puedes aplicar lo que ya sabes. Domina estos primero.

Las dimensiones superiores pueden ser complicadas por la misma razón que cualquier generalización: cuando se generaliza una idea, pueden aparecer sorpresas en las situaciones más complejas. Entender primero la herramienta que es independiente de las dimensiones, como las mencionadas anteriormente, puede ayudarte a tener un terreno sólido bajo tus pies, para que el salto sea más seguro. Recomiendo que cualquier resultado en dimensiones superiores se replantee en la medida de lo posible utilizando las herramientas independientes de las dimensiones. Si no hay ninguna particularidad en el número de dimensión, tal vez se pueda generalizar a cualquier dimensión. Si hay particularidades específicas de la dimensión, al menos las has aislado. Esto facilita la comprensión y la verificación.

Answer 2

Lo primero que hay que hacer es quitar el continuo del espacio, porque los humanos entienden mejor discreto espacio. Es más fácil pensar en el espacio en trozos discretos, es decir, dividir el espacio en unidades de tamaño convencional conocido. Tomemos el ejemplo de las pantallas LCD de los ordenadores: la pantalla LCD está formada por muchos píxeles colocados en una matriz bidimensional. Se puede saber si una línea de la pantalla es más larga que otra y, a todos los efectos, se comporta como un espacio normal, respeta las mismas leyes matemáticas, etc.

Pero además, cada píxel que compone la pantalla tiene 3 diminutos dispositivos que hacen que emita luz en diferentes rangos del espectro, es decir, ROJO, VERDE, AZUL (RGB para abreviar). Cada dispositivo para un determinado píxel y color toma una entrada en el rango de 0..255 para saber la intensidad de la luz que deja salir, 0 significa que no emite luz y 255 que es la más brillante. Un píxel puede ser rojo brillante y tener todas las demás columnas cerradas, es decir, su RGB es (ROJO: 255, VERDE: 0, AZUL: 0). No es necesario que un píxel con ROJO 255, VERDE 0, AZUL 255 sea realmente morado.

Y ahora lo esencial: podrías considerar cada uno de esos valores de color como una nueva dimensión. Su pantalla LCD tiene ahora 3 nuevas dimensiones, lo que hace un total de 5 dimensiones. Pero ahora, otro artilugio: ¿y si pudieras apilar varias pantallas LCD una encima de otra (y ver a través de cualquier profundidad que desees)? Entonces podría "ver" 6 dimensiones, ¿verdad?

Ahora, si usted pudiera imaginar que tal "cubo LCD" toma parte de un espacio con píxeles infinitamente pequeños, rango infinito para todas las dimensiones de ancho, altura, profundidad y color y allí usted tiene un espacio continuo de 6 dimensiones. Nuevamente sin tener en cuenta que dos colores hacen otro color (el rojo y el azul hacen el púrpura como se dijo anteriormente), podrías agregar más dimensiones codificadas por colores. No creo que se pueda representar esto en la vida real o en el software, pero bueno, ¡esto es imaginación! Así que, dado un número "N" de colores, ahí lo tienes: Un espacio de N dimensiones con códigos de colores.

Si quieres saber más sobre los colores y las visualizaciones, el mejor lugar para empezar es el navegador usando HTML y CSS. Puedes hacer un archivo txt con <div style="background: rgb(255, 0, 255)"></div> como contenido y empezar a experimentar con los colores. Busca en la web: [http://www.google.com/search?client=ubuntu&channel=fs&q=html+colors&ie=utf-8&oe=utf-8\]HTML color[1] y encontrarás muchos.

Otro ejemplo es el gradiente térmico, que mide "el calor que hace a una distancia determinada de un objeto caliente". Midiendo eso en muchos puntos alrededor de un objeto caliente se obtiene un mapa térmico en 3D. En este caso, el gradiente de temperatura es una cuarta dimensión, pero su representación sigue utilizando códigos de colores (normalmente, verde/oscuro, rojo, amarillo y blanco para el frío, el calor y el más caliente, respectivamente). Gradiente térmico

Answer 3

Voy a intentar algunas cosas aquí (en un enfoque físico, si quieres)

Tenemos 3 dimensiones del espacio,

up-down , left-right , front-back

tal vez time (o más correctamente duration ) como cuarta dimensión no es suficiente, así que veamos algo más

(nota, estoy usando analogías naturales, no ficticias, ya que creo que de esto se trata la pregunta)

1. color , color puede ser una 4ª dimensión
2. frequency (sim)
3. age (sim)
4. tal vez alguna otra propiedad de un sistema o constitución, por ejemplo number of particles , shape , configuration , size , input/output nodes y así sucesivamente

Espero que lo anterior dé una idea (o más bien una analogía )

Answer 4

No soy matemático, sólo un ingeniero lego, pero me topé con este video hace algún tiempo, tal vez te ayude. http://www.boingboing.net/2009/08/18/visualizing-up-to-te.html