Muletas intuitivas para el pensamiento dimensional superior

Question

Una vez escuché un chiste (no muy bueno, lo admito...) sobre el pensamiento dimensional superior que decía lo siguiente

Un ingeniero, un físico y un matemático discuten sobre cómo visualizar las cuatro dimensiones:

Ingeniero : Nunca lo entiendo

Físico : Oh, es muy fácil, sólo imagina un espacio tridimensional sobre un tiempo que añade su cuarta dimensión.

Matemático : No, es mucho más fácil que eso; sólo imagina $\mathbb{R}^n$ entonces establece n igual a 4.

Ahora bien, si alguna vez se ha encontrado con algo manifiestamente cuatridimensional (en contraposición a 3+1 dimensiones) como la unión de 2 esferas, queda bastante claro que lo que dice el físico no es suficiente o, al menos, necesita algo más de elaboración tal como está.

La respuesta del matemático es abstrusa por el diseño de la broma, pero, modulando algunos gráficos y delimitando los 3 pliegues, parece ser ciertamente la perspectiva dominante, al menos en los artículos publicados. La situación me recuerda la vieja cita de Von Neumann sobre "...nunca entiendes las cosas. Sólo te acostumbras a ellas", y quizás eso es lo mejor que se puede hacer en esta situación.

Pero una de las principales razones de mi interés por la geometría es la intuición adicional que se obtiene al estar en un espacio un poco parecido al propio, y sería una pena perder eso tan bruscamente, de la forma en que lo hace el ingeniero, al ir más allá de las 3 dimensiones.

Lo que busco, de esta comunidad de matemáticos incontablemente sabios y más experimentados que yo, es una muleta -cualquier cosa que facilite ver, por ejemplo, el enlace de las esferas-, ya sean simples trucos, artículos útiles o diagramas motivacionales esotéricos (pero, espero, finalmente útiles): cualquier cosa que me ayude a ser mejor que el ingeniero.

Se aplican las normas de la wiki comunitaria: una idea por mensaje, etc.

Answer 1

La geometría descriptiva solía enseñarse a los ingenieros, pero ya no es tan frecuente ahora que disponemos de programas de dibujo por ordenador. La idea es proyectar objetos 3D en DOS semiplanos, y luego aplanar los semiplanos en una hoja de papel. Hay una dimensión redundante en la representación.

Esto puede aprovecharse para visualizar 4 dimensiones: basta con proyectar un objeto 4D en 2 planos. Geometría descriptiva con ambos semiplanos independientes. Se puede pasar a 6 dimensiones proyectando sobre 3 planos, o sobre 2 volúmenes. El truco ayuda un poco.

Answer 2

Mi respuesta habitual a cómo entiendo la 4D es decir que me doy cuenta de que no entiendo la 3D y partir de ahí. Esto es simplista, pero creo que oculta un truco que utilizo. Se trata de dejar de intentar ver en 4D. Hay quizás un puñado de personas que pueden trabajar de manera puramente intuitiva en el espacio de la 4D. Para la mayoría de nosotros, incluso las cuestiones más sencillas (como la intersección de cilindros en tres direcciones diferentes) en 3D requieren mucha reflexión.

Al renunciar a tratar de ver realmente la imagen completa en 4d, es posible entonces aportar muchos de los trucos (como el salto de 2d a 3d) y otros métodos de lo abstracto. A veces se puede hacer mucho simplemente con el álgebra lineal.

La mayor parte del trabajo que he realizado en espacios de mayor dimensión ha consistido en considerar mosaicos de proyección como el mosaico de Penrose, en el que el espacio superior se divide de forma natural en dos espacios más pequeños. Así que no olvides que, además de mirar a 3+1, a veces puede ser útil mirar a 2+2, o incluso una lista más larga de proyecciones o vistas en 2 y 3 dimensiones de tu objeto. Al fin y al cabo, ¡así es como acabamos trabajando con cosas en 3D!

Answer 3

No se trata tanto de una muleta como de una forma de explorar el límite superior de la exploración puramente visual del espacio: Jeff Weeks ha creado un bonito programa informático que permite volar alrededor de algunos 3manifolds compactos. Me parece una buena manera de intuir las características topológicas globales en dimensiones superiores.

http://www.geometrygames.org/CurvedSpaces/index.html.en

Answer 4

La forma en que lo hago es más simple que todas estas otras respuestas, es sólo mi manera, no estoy afirmando que sea mejor. Lo que hago es simplemente eliminar la idea de "espacio físico" de la idea de "dimensiones". Defino "dimensión" como "variable independientemente cambiable". Entonces el espacio físico cartesiano es sólo un caso especial de algo con tres dimensiones, que son las tres direcciones independientes en las que te puedes mover, X, Y y Z, sin moverte en otra de las otras. Por ejemplo, puedes cambiar tu posición X libremente, sin cambiar Y o Z. Así que tu posición en el espacio está definida por 3 variables independientes. Así que la extensión del espacio tridimensional está descrita por todos los valores posibles de tres variables independientes en cada combinación. Para llegar a las cuatro dimensiones, puedes deshacerte de la idea de relación espacial y aceptar la idea de que un "espacio de cuatro dimensiones" es simplemente todos los valores posibles de cuatro variables independientes en cada combinación. ¡Tada! Esto puede parecer desorientador al principio, pero funciona bien, y no tienes que lidiar con ideas como la ortogonalidad o cualquier otra matemática difícil, lo cual es algo bueno para mí.

Answer 5

He aquí una forma inteligente de visualizar las 4 dimensiones: jugar al juego de cartas SET . Así es: cada tarjeta muestra un número de símbolo(s) con un color y un sombreado . Cada cualidad puede tener tres valores posibles; por ejemplo, la carta puede ser azul, roja o verde (difícil para los ciegos de color como yo), puede contener uno, dos o tres símbolos. Todas las combinaciones se dan exactamente una vez. Por lo tanto, la baraja es isomorfa a la $4$ -espacio afín de dimensiones sobre ${\mathbb F}_3$ ( $81$ tarjetas). La regla está escrita para los ingenieros, pero un matemático puede traducirla de la siguiente manera: en un conjunto dado de puntos (normalmente $12$ puntos), encontrar una línea afín (a set ).