Muletas intuitivas para el pensamiento dimensional superior

Question

Una vez escuché un chiste (no muy bueno, lo admito...) sobre el pensamiento dimensional superior que decía lo siguiente

Un ingeniero, un físico y un matemático discuten sobre cómo visualizar las cuatro dimensiones:

Ingeniero : Nunca lo entiendo

Físico : Oh, es muy fácil, sólo imagina un espacio tridimensional sobre un tiempo que añade su cuarta dimensión.

Matemático : No, es mucho más fácil que eso; sólo imagina $\mathbb{R}^n$ entonces establece n igual a 4.

Ahora bien, si alguna vez se ha encontrado con algo manifiestamente cuatridimensional (en contraposición a 3+1 dimensiones) como la unión de 2 esferas, queda bastante claro que lo que dice el físico no es suficiente o, al menos, necesita algo más de elaboración tal como está.

La respuesta del matemático es abstrusa por el diseño de la broma, pero, modulando algunos gráficos y delimitando los 3 pliegues, parece ser ciertamente la perspectiva dominante, al menos en los artículos publicados. La situación me recuerda la vieja cita de Von Neumann sobre "...nunca entiendes las cosas. Sólo te acostumbras a ellas", y quizás eso es lo mejor que se puede hacer en esta situación.

Pero una de las principales razones de mi interés por la geometría es la intuición adicional que se obtiene al estar en un espacio un poco parecido al propio, y sería una pena perder eso tan bruscamente, de la forma en que lo hace el ingeniero, al ir más allá de las 3 dimensiones.

Lo que busco, de esta comunidad de matemáticos incontablemente sabios y más experimentados que yo, es una muleta -cualquier cosa que facilite ver, por ejemplo, el enlace de las esferas-, ya sean simples trucos, artículos útiles o diagramas motivacionales esotéricos (pero, espero, finalmente útiles): cualquier cosa que me ayude a ser mejor que el ingeniero.

Se aplican las normas de la wiki comunitaria: una idea por mensaje, etc.

Answer 1

Cualquier tipo de propiedad visual variable de una superficie (por ejemplo, color, textura, opacidad) puede utilizarse para describir una dimensión adicional. En realidad, esto sólo ayuda en las dimensiones bajas, pero es bastante eficaz.

Para dar un ejemplo, Hatcher describe la visualización de la incrustación de la botella de Klein en cuatro espacios dejando que la mayor parte de la botella sea azul, pero haciendo que se "ruborice" al pasar por ella.

Answer 2

Este post no es una respuesta directa a tu pregunta, sino una recomendación de películas.

"Dimensiones" trata de ayudar a visualizar la 4ª dimensión proyectándola sobre las conocidas dos y tres dimensiones. También contiene una parte que representa a seres bidimensionales intentando concebir una tercera dimensión, para que el espectador pueda visualizar primero la situación más fácil y análoga.

Los gráficos son bonitos y es totalmente gratuito. ¡Compruébalo!

Dimensiones, película

Answer 3

En "Politopos regulares", H.S.M. Coxeter escribe:

Sólo una o dos personas han logrado logrado la capacidad de visualizar los hipersólidos de forma tan sencilla y natural como nosotros los mortales ordinarios visualizamos sólidos, pero se puede adquirir una cierta facilidad en este sentido puede adquirirse contemplando la analogía entre una y dos dimensiones, luego dos y tres y así (por una especie de extrapolación) tres y cuatro. Este enfoque intuitivo es muy fructífero para sugerir los resultados que cabe esperar. Sin embargo, existe cierto peligro de extraviarse a menos que [...]

Debería leer toda la sección 7.1 para averiguarlo. Como extra, encontrará allí la siguiente cita de Poincaré, cuyo origen me temo que no he podido verificar:

Un hombre que dedicara su vida a ello podría ser capaz para pintar la cuarta dimensión.

Answer 4

Un truco extremadamente útil para visualizar cierta clase de espacios simples de 4 y 6 dimensiones es la imagen del mapa de momento tórico.

(a) El ejemplo básico es una 2-esfera $\{x^2+y^2+z^2=1\}$ que se equipa con una función de altura lineal $(x,y,z)\mapsto z$ . Ahora, en lugar de dibujar la esfera, se dibuja su imagen (un intervalo). Bajo este mapa, la esfera es una familia de círculos que se colapsan en puntos.

(b) El siguiente ejemplo básico es $S^2\times S^2$ que mapea a un cuadrado: lejos de los bordes, la preimagen de un punto es un 2-toro; sobre los bordes lejos de las esquinas las preimágenes son círculos; sobre las esquinas las preimágenes son puntos. Sobre cada arista hay una esfera cuya proyección a esa arista es la que vimos en (a). La esfera diagonal $\{(x,x)\ :\ x\in S^2\}$ (respectivamente esfera antidiagonal $\{(x,-x)\ :\ x\in S^2\subset\mathbf{R}^3\}$ ) mapean a la diagonal/antidiagonal en el cuadrado e intersecan cada fibra del toro en el círculo diagonal/antidiagonal.

(c) $\mathbf{CP}^2$ con coordenadas homogéneas $[x:y:z]$ se proyecta a un triángulo $\{a+b\leq 1,\ a,b\geq 0\}$ a través de $[x:y:z]\mapsto(|x|^2/T,|y|^2/T)$ , $T=|x|^2+|y|^2+|z|^2$ . Sobre cada arista hay una esfera: se suele pensar que la esfera sobre la hipotenusa está "en el infinito" ( $z=0$ ). Estas esferas son líneas complejas. Si se recortan las esferas que viven sobre los bordes, todo se retrae hasta la fibra sobre el baricentro (que vuelve a ser un toroide).

En general lo que estás dibujando es la imagen de una simpléctica $2n$ -manifold $X$ con una acción hamiltoniana del $n$ -toro de dimensiones $T$ (en estos casos, $n=1,2$ ) bajo el mapa $X\to X/T$ . Se trata siempre de un politopo convexo cuyos vértices y be $\mathbf{Z}$ -identificado linealmente con el vértice del ortante positivo en $\mathbf{R}^n$ (la propiedad de Delzant). Un semimanifiesto se proyecta a un politopo 3D: $\mathbf{CP}^3$ se convierte en un simplex estándar, por ejemplo. Se pueden visualizar fácilmente varias operaciones naturales como el blow-up (cortar las esquinas de los politopos); se pueden entender ciertas singularidades naturales (permitiendo vértices no Delzant), por ejemplo la pequeña resolución y flop de un nodo de 3 pliegues tiene una bonita imagen tórica (ver la imagen cerca del final de esta entrada del blog ). Las curvas algebraicas de alto grado pueden visualizarse mediante sus amebas.

Incluso de forma más general (como han dicho otros en este hilo), los espacios de alta dimensión pueden visualizarse mediante sus proyecciones a otros espacios más simples. Lo más interesante e importante de esta información son las singularidades de los mapas de proyección. Esta es la moraleja de la teoría de Morse, de la teoría de Cerf, de la teoría de Picard-Lefschetz y, en este caso, de la geometría tórica, donde las singularidades de los mapas de momento se producen a lo largo de las caras y aristas del politopo imagen y te dan una rica colección de submanifolds importantes de forma gratuita.

Desde un punto de vista más filosófico, yo diría que la clave para desarrollar una intuición geométrica está en aprender a dibujar imágenes simplificadas, de menor dimensión y posiblemente engañosas, siempre que se entienda exactamente lo engañosas que son las imágenes. Por ejemplo, en el ejemplo anterior la diagonal y la antidiagonal son disjuntas en $S^2 \times S^2$ pero sus imágenes se cruzan en el cuadrado.

Answer 5

En 5 o más dimensiones descomposición del cuerpo de la manija y la manija asociada se mueve. En la dimensión 4 Cálculo Kirby . En la dimensión 3 Separaciones Heegaard . (Las dimensiones inferiores a 3 se dejan como ejercicio para el lector interesado).

La descomposición del cuerpo de la manija y los movimientos de la manija asociados se tratan con elegancia en el libro de Kosinski Colectores diferenciales mientras que el cálculo de Kirby se trata en la obra de Stipsicz y Gompf 4-Manifolds y cálculo de Kirby . Ambos libros tocan los desdoblamientos de Heegaard.