Muletas intuitivas para el pensamiento dimensional superior

Question

Una vez escuché un chiste (no muy bueno, lo admito...) sobre el pensamiento dimensional superior que decía lo siguiente

Un ingeniero, un físico y un matemático discuten sobre cómo visualizar las cuatro dimensiones:

Ingeniero : Nunca lo entiendo

Físico : Oh, es muy fácil, sólo imagina un espacio tridimensional sobre un tiempo que añade su cuarta dimensión.

Matemático : No, es mucho más fácil que eso; sólo imagina $\mathbb{R}^n$ entonces establece n igual a 4.

Ahora bien, si alguna vez se ha encontrado con algo manifiestamente cuatridimensional (en contraposición a 3+1 dimensiones) como la unión de 2 esferas, queda bastante claro que lo que dice el físico no es suficiente o, al menos, necesita algo más de elaboración tal como está.

La respuesta del matemático es abstrusa por el diseño de la broma, pero, modulando algunos gráficos y delimitando los 3 pliegues, parece ser ciertamente la perspectiva dominante, al menos en los artículos publicados. La situación me recuerda la vieja cita de Von Neumann sobre "...nunca entiendes las cosas. Sólo te acostumbras a ellas", y quizás eso es lo mejor que se puede hacer en esta situación.

Pero una de las principales razones de mi interés por la geometría es la intuición adicional que se obtiene al estar en un espacio un poco parecido al propio, y sería una pena perder eso tan bruscamente, de la forma en que lo hace el ingeniero, al ir más allá de las 3 dimensiones.

Lo que busco, de esta comunidad de matemáticos incontablemente sabios y más experimentados que yo, es una muleta -cualquier cosa que facilite ver, por ejemplo, el enlace de las esferas-, ya sean simples trucos, artículos útiles o diagramas motivacionales esotéricos (pero, espero, finalmente útiles): cualquier cosa que me ayude a ser mejor que el ingeniero.

Se aplican las normas de la wiki comunitaria: una idea por mensaje, etc.

Answer 1

No puedo ayudarte mucho con la topología de alta dimensión - no es mi campo, y no he cogido los diversos trucos que los topólogos utilizan para dominar el tema - pero cuando se trata de la geometría de los espacios vectoriales de alta dimensión (o de dimensión infinita) como $\mathbb R^n$ Pero hay muchas formas de conceptualizar estos espacios que no requieren la visualización directa de más de tres dimensiones.

Por ejemplo, se puede ver un espacio vectorial de alta dimensión como un espacio de estado para un sistema con muchos grados de libertad. Una imagen de megapíxeles, por ejemplo, es un punto en un espacio vectorial de un millón de dimensiones; variando la imagen, se puede explorar el espacio, y varios subconjuntos de este espacio corresponden a varias clases de imágenes.

Del mismo modo, se pueden interpretar las ondas sonoras, una caja de gases, un ecosistema, una población de votantes, un flujo de datos digitales, los ensayos de variables aleatorias, los resultados de una encuesta estadística, una estrategia probabilística en un juego de dos jugadores y muchos otros objetos concretos como estados en un espacio vectorial de alta dimensión, y varios conceptos básicos como la convexidad, la distancia, la linealidad, el cambio de variables, la ortogonalidad o el producto interior pueden tener significados muy naturales en algunos de estos modelos (aunque no en todos).

Puede llevar un poco de teoría y práctica fusionar la intuición de uno para estas cosas con la intuición espacial de uno para los vectores y los espacios vectoriales, pero se puede hacer eventualmente (al igual que después de que uno tiene suficiente exposición a la teoría de las medidas, uno puede empezar a fusionar su intuición con respecto a la cardinalidad, la masa, la longitud, el volumen, la probabilidad, el costo, la carga, y cualquier número de otras medidas de la "vida real").

Por ejemplo, el hecho de que la mayor parte de la masa de una bola unitaria en altas dimensiones se encuentre cerca del límite de la bola puede interpretarse como una manifestación de la ley de los grandes números, utilizando la interpretación de un espacio vectorial de altas dimensiones como el espacio de estados para un gran número de ensayos de una variable aleatoria.

En términos más generales, muchos hechos sobre proyecciones de baja dimensión o cortes de objetos de alta dimensión pueden verse desde una perspectiva probabilística, estadística o de procesamiento de señales.

Answer 2

Estas son algunas de las muletas en las que he confiado. (Hay que reconocer que mis muletas son probablemente mucho más útiles para la informática teórica, la combinatoria y la probabilidad que para la geometría, la topología o la física. En una nota relacionada, a mí personalmente me resulta mucho más fácil pensar en $R^n$ que sobre, digamos, $R^4$ o $R^5$ !)

1. Si estás tratando de visualizar algún fenómeno 4D P, primero piensa en un 3D fenómeno P', y luego imagínate como un 2D ser que está tratando de visualizar P'. La ventaja es que, a diferencia del caso 4D vs. 3D, usted mismo puede alternar fácilmente entre las perspectivas 3D y 2D y, por lo tanto, puede tener una idea exacta de la información que se pierde cuando se abandona una dimensión. (Se podría llamar a esto el " Flatland truco", en honor a la obra literaria más famosa que se basa en ella).

2. Como alguien más mencionó, ¡discreta! En lugar de pensar en $R^n$ piensa en el hipercubo booleano $\lbrace 0,1 \rbrace ^n$ que es finito y suele ser más fácil de intuir. (Cuando trabajo en problemas, a menudo me encuentro dibujando $\lbrace 0,1 \rbrace ^4$ en una hoja de papel dibujando dos copias de $\lbrace 0,1 \rbrace ^3$ y luego conectar los vértices correspondientes).

3. En lugar de pensar en un subconjunto $S \subseteq R^n$ , piense en su función característica $f : R^n \rightarrow \lbrace 0,1 \rbrace$ . No sé por qué ese trivial cambio de perspectiva supone una diferencia tan grande, pero lo hace... quizá porque desplaza tu atención al proceso de informática $f$ ¡y hace que te olvides de la desesperante tarea de visualizar a S!

4. Uno de los hechos centrales sobre $R^n$ es que, aunque sólo tiene "espacio" para $n$ vectores ortogonales, tiene espacio para $\exp(n)$ casi -vectores ortogonales. Interiorizar ese hecho, y tantas otras propiedades de $R^n$ (por ejemplo, que el $n$ -esfera se asemeja a una "bola con picos que sobresalen", como alguien mencionó antes) de repente parecerá no misteriosa. A su vez, una forma de interiorizar el hecho de que $R^n$ tiene tantos vectores casi ortogonales es interiorizar el teorema de Shannon de que existen buenos códigos de corrección de errores.

5. Para tener una idea de algún objeto de alta dimensión, haga preguntas sobre el comportamiento de un proceso que tiene lugar en ese objeto. Por ejemplo: si dejo caer una pelota aquí ¿en qué mínimo local se instalará? ¿Cuánto tiempo dura este paseo aleatorio sobre $\lbrace 0,1 \rbrace ^n$ ¿toma para mezclar?

Answer 3

Este es un punto ligeramente diferente, pero a Vitali Milman, que trabaja en convexidad de alta dimensión, le gusta dibujar cuerpos convexos de alta dimensión de forma no convexa. Esto es para transmitir el punto de que si se toma el casco convexo de unos pocos puntos en la esfera unitaria de R^n, entonces para grandes n muy poco de la medida del cuerpo convexo está en cualquier lugar cerca de las esquinas, por lo que en cierto sentido el cuerpo es un poco como una pequeña esfera con largos y delgados "picos".

Answer 4

En general, se utiliza una combinación de proyección, película y analogía de dimensiones inferiores. Trataré de ejemplificar cada una de ellas. También, y de manera importante, pensar en el álgebra lineal como una descripción intrínsecamente geométrica. Empezaré por el último punto primero.

Las soluciones de una única ecuación lineal en (n+1) incógnitas pueden considerarse como la definición de un hiperespacio de n dimensiones en el espacio (n+1). También es la intersección entre la gráfica de una función $y=\sum a_i x_i$ y la función constante $y=b$ . La reducción de filas es trivial de implementar, pero da una base para el espacio de soluciones de la homogénea asociada. Continúe añadiendo ecuaciones (genéricamente) y siga reduciendo las dimensiones.

Del mismo modo, el teorema del binomio expresa el volumen de un cubo de n dimensiones en términos de un montón de rodajas. Hice un dibujo aquí: http://www.southalabama.edu/mathstat/personal_pages/carter/binon.pdf y aquí: http://www.southalabama.edu/mathstat/personal_pages/carter/pascalscube1.pdf

Mediante una construcción similar puedes convencerte de que $\int_0^1 x^n dx = 1/(n+1)$ considerando el lado izquierdo como una pirámide en el (n+1)-cubo. Un total de (n+1) de ellas llenan el (n+1)-cubo. Abhijit Champanerkar y yo publicamos un artículo en el arXiv en eso.

En términos de proyecciones, películas y analogías, considere un nudo clásico como el cierre de la palabra trenza $s_1^3$ . La película de esto consiste en dos pares de puntos que nacen y un par de estos puntos bailan alrededor. La imagen más inmediata que se me ocurre es en un trabajo reciente de Joan Licata en JKTR. La película parece aburrida y difícil de analizar, pero si te fijas en todos los detalles puedes reconstruir la proyección y el diagrama (estas dos ideas son diferentes: el diagrama contiene información cruzada).

Muchos teóricos del nudo, al dibujar un nudo corredizo y un disco, dibujan un círculo con un par de puntos conectados por una cuerda doblada en el interior. Esto es utilizar la analogía de la dimensión: se dibuja el análogo una dimensión hacia abajo en lugar de hacia arriba.

Para las superficies anudadas y enlazadas, puedes dibujar una película que contenga nudos y enlaces bailando, apareándose y separándose: voyeurismo bacteriano. Cuando dibujas esto Y mantienes un seguimiento cuidadoso de la información crítica, puedes reconstruir una imagen precisa de la proyección. Contamos cómo hacerlo en el libro de AMS y en el de Springer. Vea también mi borrador de la eversión de la esfera en la página enlazada arriba, pero tenga cuidado: ¡¡¡el archivo es enorme!!!

Si quieres estudiar los nudos y enlaces de los 3 manifolds en el espacio 5, puedes hacer una película de superficies bailando. La teoría de la singularidad te ayudará a no perder de vista las cosas.

Por último, recuerda que cuando dibujas una superficie en el plano pierdes información. Cuando dibujas un sólido en el plano, la información está contenida en segmentos que son paralelos al núcleo de aproximaciones lineales. Estos patrones persisten. Las proyecciones estándar de un hipercubo contienen un núcleo 2-d.

Para resumir: Piensa en el álgebra lineal de forma geométrica. Tome secciones transversales y utilícelas para reconstruir proyecciones, y considere cuidadosamente la información que se pierde en las proyecciones.

Answer 5

Una forma en la que siempre me ha gustado pensar $S^n$ es en términos de suspensiones. Aunque no es especialmente esclarecedor desde el punto de vista geométrico (aunque puede serlo desde el punto de vista topológico), sigue siendo una forma interesante de pensar en ellas.

Definición. La suspensión $SX$ de un espacio topológico $X$ es $(X\times[0,1])/\sim$ donde $\sim$ se derrumba $X\times$ {0} a un punto y $X\times$ {1} hasta un punto. "Geométricamente", esto significa que queremos tomar $X$ y dos puntos de "suspensión", y luego dibujar "líneas" desde los dos puntos a todos los puntos de $X$ .

Así que podemos imaginar la suspensión del círculo fácilmente. $S^1\times[0,1]$ es el cilindro, y $S^1 \times$ {0} es el círculo del "fondo" del cilindro, y $S^1\times$ {1} es el círculo de la "parte superior". Identificamos estos círculos con puntos, lo que reduce la parte superior e inferior del cilindro a puntos. Esto nos da claramente $S^2$ ¡!

En general, no es difícil demostrar $SS^n = S^{n+1}$ .

Así que, ahora vamos a tratar de imaginar $S^3$ que es tridimensional, por lo que no debería ser demasiado difícil de pensar. Empezamos con la 2-esfera, considerada incrustada en $\mathbb{R}^3$ y dos puntos de "suspensión". Pero ya podemos decir que esto va a quedar raro si elegimos dos puntos, digamos, sobre los polos norte y sur. Así que vamos a elegir un punto dentro de la esfera.

El conjunto de todas las líneas que van desde el punto en el centro de la esfera hasta la esfera es la esfera sólida. Ahora queremos tratar el segundo punto. Digamos que lo colocamos sobre el polo norte, y conectamos cada punto de la esfera con él.

Como se supone que estas líneas van a todos los puntos de la esfera, deberíamos imaginar que este diagrama muestra las líneas densas en el espacio alrededor de la esfera... pero esto se ve abarrotado, así que movamos este punto extra hasta el infinito, y redibujemos esta imagen,

imaginando de nuevo que en esta imagen burdamente dibujada las líneas cubren toda la esfera.

Pero ahora estas líneas cubren, además de la superficie de la esfera y el punto en el centro, toda la $\mathbb{R}^3$ ¡! Y, todo lo que nos queda es el punto en el infinito.

Así que, acabamos de mostrar $S^3$ es $\mathbb{R}^3\cup$ { $\infty$ }.

Ahora, ¿cómo podemos imaginar $S^4$ ? ¡Volvemos a hacer lo mismo! Dibujamos todas las líneas (esta vez, como no podemos imaginar el espacio más grande en el que incrustar esto, podemos pensar en cambio en combinaciones lineales formales) desde dos puntos hasta cada punto de $\mathbb{R}^3$ y hasta el punto extra en el infinito.

No intentaré dibujarla, pero, pensar en ella no es demasiado difícil (¡aunque las cosas se vuelven geométricamente confusas si intentas hacer este proceso demasiadas veces!) Pero, al menos, puedes convencerte de que todas las esferas tienen una estructura relativamente sencilla.

Genéricamente, se pueden construir otros espacios mediante suspensiones, conos (suspensiones sobre un punto), uniones (trazando líneas entre dos espacios topológicos arbitrarios), cuñas ( $\vee$ ) (cociente de uniones disjuntas), y los productos smash $X\times Y/X\vee Y$ que, con son lo suficientemente sencillas como para que en algunos casos, con el suficiente esfuerzo, uno pueda utilizarlas para visualizar cómo son muchos tipos de espacios de mayor dimensión. Para saber más, coge tu libro favorito de topología algebraica.

Si ayuda a dar sentido a esta explicación, soy físico ;).