Intentaré esbozar las conexiones entre tus puntos con un ejemplo fácil de un grupo Coxeter. Probablemente quieras estudiar algunos conocimientos básicos de álgebra para seguir esto.
Examinamos el grupo diédrico del hexágono $W=A_2$ . Esto es un hexágono: ![This is a hexagon]()
Elegimos dos vértices opuestos y consideramos la reflexión dada por la línea que pasa por esos dos vértices, la llamamos $s$ . Toma un reflejo "adyacente", llámalo $t$ . Ahora $s$ y $t$ generar un grupo de orden $6$ (deberías convencerte de que esto es cierto). Este grupo es un grupo de Coxeter.
- Tiene que ver con los reflejos.
- La matriz de Coxeter y el diagrama de Coxeter son una forma de codificar las propiedades del grupo Coxeter. En nuestro caso, tenemos la matriz de Coxeter $$M=\begin{pmatrix}2&3\\3&2\end{pmatrix}$$ y el diagrama de Coxeter $\circ \overset{3}{-} \circ$ . El $2$ en la matriz te dicen que $s\circ s=t\circ t=\text{id}$ y el $3's$ en la matriz y en el diagrama te dicen que $(s\circ t)^3=\text{id}$ .
- Esto se precisa con la presentación del grupo Coxeter. En nuestro caso, la presentación es $W \cong \langle s,t \mid s^2=t^2=ststst=1\rangle$ . Esta presentación es una forma abstracta de definir el grupo Coxeter: Tome todas las palabras finitas de las letras $s$ y $t$ . Esto sería un conjunto de elementos de contaning como $s$ , $sts$ , $tttss$ , $ttssttttsst$ o incluso la palabra vacía $\varepsilon$ . Ahora introducimos una relación de equivalencia: Llamamos equivalentes a dos palabras, si una puede obtenerse de la otra suprimiendo o insertando $ss$ , $tt$ o $ststst$ . La concatenación de dos palabras da una multiplicación: $st*sst=stsst \sim stt \sim s$ . Resulta que, modulando esta relación de equivalencia, las palabras en $s$ y $t$ son un grupo. Y es isomorfo al grupo de reflexión que definimos anteriormente.
Para veranear: El diagrama de Coxeter y la matriz de Coxeter son una herramienta para codificar la presentación del grupo de Coxeter. Cada grupo de Coxeter tiene una representación especial. Cada grupo de Coxeter se puede realizar geométricamente como un grupo generado por la reflexión de "algo".
Editar: Para responder a la pregunta de cómo se ve el "no reflejo": El elemento $st\in A_2$ no es una reflexión, es una rotación por $120^\circ$ (el vértice superior en $0^\circ$ se asigna a $240^\circ$ El $60^\circ$ -El vértice se asigna a $300^\circ$ ). En general, las reflexiones de un grupo Coxeter (a menudo denotado por $T$ en contraste con el conjunto de generadores, simple reflexiones $S$ ) son precisamente los conjugados de los generadores, es decir $s$ , $t$ y $sts=tst$ en nuestro ejemplo.
