Demostrar una desigualdad utilizando el Teorema del Valor Medio

Question

Necesito probar: $$\frac{a-b}{a} < \ln(\frac{a}{b}) < \frac{a-b}{b}$$ $$0<b<a$$

He probado la sustitución $x = a/b$ y analizarlo como tres funciones, pero no me llevó a ninguna parte.
Cualquier sugerencia será bienvenida.

Answer 1

Sugerencia: considere $f(x) =\ln x$ en $(b,a)$

Answer 2

Para $x \in [b, a] \quad \frac{1}{a} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{b} $ . por lo tanto $\int_b^{a} \frac{dx}{a} \leq \int_b^{a} \frac{dx}{x} \leq \int_b^{a} \frac{dx}{b} \iff \frac{a-b}{a} \leq Ln(\frac{a}{b} ) \leq \frac{a-b}{b} $ . Desigualdades estrictas: por ejemplo $\int_b^{a} (\frac{1}{b} - \frac{1}{x} ) dx > 0$ ya que integramos una función continua estrictamente positiva sobre $[b, a]$ (con $b < a$ ).

Answer 3

Principio: En $[a,b]$ , $(b > a)$ tenemos $(b-a)\min_{u \in [a,b]} f(u) \le \int_a^b f(u) du \le \max_{u \in [a,b]} f(u).$

Tenemos $\ln \frac{b}{a}=\ln(b) - \ln(a) = \int_a^b \frac1{u} du.$

pero $1/b < 1/u < 1/a$ así que $\frac{(b-a)}{b} < \ln(b)-\ln(a) < \frac{(b-a)}{a}.$

Answer 4

METODOLOGÍA $1$ :

He pensado que podría ser instructivo presentar un camino a seguir que no se base en el cálculo.

En ESTA RESPUESTA En el caso de la función logaritmo, demostré utilizando sólo la definición de límite del logaritmo y la desigualdad de Bernoulli que la función logaritmo satisface las desigualdades

$$\frac{x-1}{x}\le \log(x)\le x-1$$

para $x>0$ . Ahora, sólo hay que poner $x=a/b$ , donde $0<b<a$ y encontramos

$$\frac{a-b}{a} \le \log(a/b)\le \frac{a-b}{b}$$

como se esperaba.

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METODOLOGÍA $2$ :

Aquí, utilizamos la definición integral del logaritmo natural junto con el Teorema del Valor Medio para las integrales. Sea $\log(x)$ se define por

$$\log(x)\equiv \int_1^x \frac{1}{t}\,dt \tag 1$$

A continuación, se establece $x=a/b$ en $(1)$ , donde $0<a<b$ revela

$$\begin{align} \log(a/b)&=\int_1^{a/b}\frac{1}{t}\,dt\\\\ &=-\int_{a/b}^1\frac{1}{t}\,dt \tag 2\\\\ \end{align}$$

Utilizando el Teorema del Valor Medio, existe un número $\xi\in(a/b,1)$ tal que

$$-\int_{a/b}^1\frac{1}{t}\,dt=-\frac{1}{\xi}\left(1-\frac{a}{b}\right)=\frac{a-b}{\xi \, b} \tag 3$$

Desde $a/b<\xi<1$ , entonces tenemos inmediatamente de $(3)$ que

$$\frac{a-b}{a}\le \log(a/b)<\frac{a-b}{b}$$

¡como se iba a mostrar!