evaluar la exponencial utilizando la identidad de Euler

Question

Consideremos la siguiente exponencial

$e^{-j*\pi*k/2}$ y $e^{j*\pi*k/2}$

podemos descomponerlo como $cos(\pi*k/2)-j*sin(\pi*k/2)$ y el segundo igual con el signo más

$cos(\pi*k/2)+j*sin(\pi*k/2)$

ahora para $k$ entero, el primero es igual a $-j$ y segundo $j$ ¿cierto? gracias de antemano

Answer 1

No, para la primera el patrón es $-i,-1,i,1,...$ y para el segundo el patrón es $i,-1,-i,1,..$

Answer 2

No es así. Los valores de (usando su " $j$ ") notación $e^{j\pi k/2}$ ciclo entre $1$ , $j$ , $-1$ y $-j$ en orden como $k$ se mueve a través de los enteros $0,1,2,\ldots$ . Hacen un ciclo en orden inverso a medida que te mueves hacia atrás a través de los enteros negativos, lo que te da los valores para la otra expresión que escribiste.

Dicho de otro modo, se puede escribir $$e^{\pm j\pi(4n)/2}=1$$ $$e^{\pm j\pi(4n+1)/2}=\pm j$$ $$e^{\pm j\pi(4n+2)/2}=-1$$ $$e^{\pm j\pi(4n+3)/2}=\mp j$$ para la integral $n$ .