Demostrar que una acción es transitiva si un elemento concreto tiene esa propiedad.

Question

Estoy teniendo problemas con el siguiente problema:

Supongamos que $G$ actúa sobre un conjunto $A$ y supongamos que existe $a\in A$ con la propiedad: para todo $b\in A$ existe $g\in G$ tal que $g\cdot a=b$ . Demostrar que la acción de G es transitiva.

Entiendo que la acción es transitiva para este elemento concreto a, pero tengo problemas para demostrar que es transitiva para cualquier elemento.

Answer 1

Dado que cada elemento $b \in A$ se encuentra en la órbita de $a$ . Por lo tanto, $\text{Orb}(a)=A$ . Recordemos que las órbitas forman una partición del conjunto $A$ . Por lo tanto, en este caso la partición sólo tiene un conjunto en la familia, lo que significa que sólo hay una órbita de esta acción, por lo que la acción es transitiva.

Answer 2

Dado $b,c\in A$ . Toma $g,h\in G $ con $ga=b$ y $ha=c$ . Así que $(hg^{-1})b=ha=c$ .