Demostrar que una secuencia de medidas está uniformemente controlada por una medida finita

Question

Supongamos que $\mu$ es una medida finita en un $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{F}$ de un conjunto $X$ , $\{\nu_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ es una secuencia de medidas finitas sobre $\mathcal{F}$ s.t. $\nu_n$ es absolutamente continua con respecto a $\mu$ para todos $n\in\mathbb{N}$ y $\lim_{n\to\infty}\nu_n(E)=:\nu(E)<\infty$ para todos $E\in\mathcal{F}$ . Demostrar que

(1)

$$\lim_{\mu(E)\to 0}\sup_{n\in\mathbb{N}}\nu_n(E)=0$$

Esto significa que basta con demostrar: $\forall\epsilon>0$ , $\exists \delta>0, N\in\mathbb{N}$ s.t. $$\nu_n(E)<\epsilon,\quad\forall n\geq N, \mu(E)<\delta$$

(2) $\nu$ es una medida finita.

Una vez que tenemos (1), podemos obtener (2) con bastante facilidad. Pero estoy teniendo dificultades en (1) y no puedo encontrar una manera de acercarse.

Answer 1

Dejemos que $E_1\Delta E_2$ denota la diferencia simétrica de dos conjuntos. Definir la siguiente relación de equivalencia: $$E_1\sim E_2\quad\Longleftrightarrow \quad \mu(E_1\Delta E_2)=0$$ Definir $$d(E_1,E_2)=\mu(E_1\Delta E_2)$$ entonces bajo esta relación de equivalencia $(\mathcal{F},d)$ es un espacio métrico completo.

Como $\nu_n$ es absolutamente continua con respecto a $\mu$ y cada $\nu_n$ es finito, por lo que $\forall\epsilon>0$ , $\exists\delta_n>0$ s.t. $$\nu_n(E)<\epsilon\text{ whenever }\mu(E)<\delta$$ Así que si $\mu(E_1\Delta E_2)<\delta_n$ tenemos $$|\nu_n(E_1)-\nu_n(E_2)|\leq \nu_n(E_1\Delta E_2)<\epsilon$$ Esto significa que cada $\nu_n$ es una función continua en $(\mathcal{F},d)$ .

Por otro lado, como $\lim_{n\to\infty}\nu_n(E)=\nu_E$ para todos $E\in\mathcal{F}$ entonces $\forall \epsilon>0, E\in\mathcal{F}$ , $\exists N$ s.t. $$|\nu_n(E)-\nu_m(E)|<\epsilon,\quad\forall n,m>N$$

Establecer $$\begin{aligned}F_N(\epsilon)&=\{E\in\mathcal{F}: |\nu_n(E)-\nu_m(E)|<\epsilon,\forall n,m\geq N\}\\ &=\bigcap_{n=N}^\infty\bigcap_{m=N}^\infty\{E\in\mathcal{F}: |\nu_n(E)-\nu_m(E)|<\epsilon\} \end{aligned}$$

Es fácil ver que $F_N(\epsilon)$ está cerrado para todos los $N$ y $\mathcal{F}=\bigcup_{N\in\mathbb{N}}F_N(\epsilon)$ .

Así, por el teorema de la categoría de Baire, existe $N_0$ s.t. $F_{N_0)}(\epsilon)$ contiene un punto interior, es decir $\exists E_0\in F_{N_0}(\epsilon)$ y $\delta>0$ s.t. $E\in F_{N_0}(\epsilon)$ siempre que $\mu(E\Delta E_0)<\delta$ .

Ahora elige $\delta>0$ un tiempo de espera lo suficientemente pequeño.

$$\mu(A)<\delta\quad\Rightarrow\quad\nu_n(A)<\epsilon,\forall n=1,\dots,N_0$$

Supongamos que $A\in\mathcal{F}$ con $\mu(A)<\delta$ y, a continuación, establecer

$$E_1=E_0\setminus A,\quad E_2=E_0\cup A=E_1\cup A$$ entonces $\mu(E_0\Delta E_1)<\delta,\mu(E_0\Delta E_2)<\delta$ Así que $E_1,E_2\in\mathcal{F}_{N_0}(\epsilon)$ Así que para todos $n\geq N_0$ :

$$\begin{aligned}\nu(A)&\leq |\nu_{N_0}(A)|+|\nu_n(A)-\nu_{N_0}(A)|\leq\epsilon+|\nu_n(A)-\nu_{N_0}(A)|\\ &=\epsilon+|\nu_n(A)+\nu_n(E_1)-\nu_n(E_1)-\nu_{N_0}(A)-\nu_{N_0}(E_1)+\nu_{N_0}(E_1)|\\ &\leq\epsilon+|\nu_n(A\cup E_1)-\nu_{N_0}(A\cup E_1)|+|\nu_n(E_1)-\nu_{N_0}(E_1)|\\ &=\epsilon+|\nu_n(E_2)-\nu_{N_0}(E_2)|+|\nu_n(E_1)-\nu_{N_0}(E_1)|\\ &\leq 3\epsilon \end{aligned}$$