Problema de valores propios con condiciones de contorno Robin

Question

Resolver el problema de valores propios con las condiciones de contorno de Robin: $$\phi''(x)+\lambda\phi(x)=0,$$ $$\phi(0)+\phi'(0)=0,$$ $$\phi(\pi)+\phi'(\pi)=0$$ He calculado que ambos $\lambda=0$ y $\lambda<0$ no son valores propios, y para $\lambda>0$ con $\lambda=+p^2$ Encontré que $c_1+c_2=0$ y $c_1\cos(\pi p)+c_2p\cos(\pi p)=0$ . Se suponía que iba a pasar algo guay y no estoy seguro de si lo estoy haciendo bien. Así que continuando con esto conseguí que $p=1$ y por lo tanto $\lambda=1$ .

Answer 1

Toda solución no nula de $$\phi''+\lambda\phi =0, \\ \phi(0)+\phi'(0)=0$$ se puede normalizar de manera que $\phi(0)-\phi'(0)=1$ escalando la solución. Si no pudiera hacerlo, entonces la solución $\phi$ satisfaría $\phi(0)=\phi'(0)=0$ que sólo se satisface con el $0$ función. Por lo tanto, se empieza por resolver $\phi''+\lambda \phi=0$ con sujeción a $$\phi(0)+\phi'(0)=0,\;\;\; \phi(0)-\phi'(0)=1, \\ \implies \phi(0)=1/2,\;\; \phi'(0)=-1/2.$$ Esto tiene la solución única $$\phi_{\lambda}(x) = \frac{1}{2}\cos(\sqrt{\lambda}x)-\frac{1}{2\sqrt{\lambda}}\sin(\sqrt{\lambda}x).$$ Para que $\lambda$ para ser un valor propio será necesario que $\phi_{\lambda}(\pi)+\phi_{\lambda}'(\pi)=0$ que da la ecuación de valores propios $$\frac{1}{2}\cos(\sqrt{\lambda}\pi)-\frac{1}{2\sqrt{\lambda}}\sin(\sqrt{\lambda}\pi)-\frac{\sqrt{\lambda}}{2}\sin(\sqrt{\lambda}\pi)-\frac{1}{2}\cos(\sqrt{\lambda}\pi) = 0 \\ \left(1+\lambda\right) \frac{\sin(\sqrt{\lambda}\pi)}{\sqrt{\lambda}}=0.$$ Los valores propios son $$\lambda=-1 \mbox{ and } \lambda = 1^2,2^2,3^2,\cdots .$$ Las funciones propias correspondientes son $$\phi_{-1}=\frac{1}{2}\cosh(x)-\frac{1}{2}\sinh(x)=e^{-x},\\ \phi_{n^2}=\frac{1}{2}\cos(nx)-\frac{1}{2n}\sin(nx),\;\; n=1,2,3,\cdots.$$