Que sea $X,Y$ espacios de Hausdorff. Denoto con $\langle \cdot, \cdot \rangle$ las clases de homotopía que preservan el punto base de los mapas, con $\Sigma$ la suspesión reducida y con $\Omega$ el espacio del bucle. ¿Cómo puedo demostrar que $$ \langle \Sigma X,Y \rangle \cong \langle X, \Omega(Y) \rangle \,\,\, ? $$
Respuesta
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Dejemos que $(X,x_0)$ sea un espacio topológico punteado. Nótese que:
$\Sigma X=\left(X\times [-1,1]\right)/\left((x,1)\equiv (x_0,t)\equiv (x,-1)\text{ for all }x\in X,t\in [-1,1]\right)$ ( $\equiv$ denota la relación de equivalencia por la que estamos tomando el cociente)
$\Omega X=\{f:[0,1]\to X:f(0)=x_0=f(1)\}$ .
La biyección:
(1) $\phi:\left\langle \Sigma X,Y \right\rangle\cong \left\langle X,\Omega Y\right\rangle$
está definida por la regla:
(2) $\left(\phi(f)(x)\right)(t)=f(x,t)$ .
Ejercicio 1 : Demostrar que $\phi$ es efectivamente una biyección bien definida. Escribe explícitamente la inversa $\psi:\left\langle X,\Omega Y\right\rangle\to \left\langle \Sigma X,Y\right\rangle$ de $\phi$ como una regla similar a (2).
Espero que esto ayude. Creo que este es realmente uno de esos resultados que, aunque es sencillo de demostrar, se entiende mejor por uno mismo. Así que recomiendo mirar (2) durante un rato hasta que puedas ver realmente que define un mapa $\phi$ como en (1). (Además, es muy satisfactorio ver geométricamente cómo se puede llegar a (2); mira la suspensión del círculo, por ejemplo). Una vez que te sientas cómodo con que (1) te da un mapa bien definido, probablemente sería bueno hacer Ejercicio 1 encontrando explícitamente una inversa para $\phi$ (de lo que, por supuesto, se deduce que $\phi$ es una biyección).
