Mapa continuo al espacio del cociente

Question

Dejemos que $X,Y,Z$ sean espacios topológicos, y supongamos que $\pi:Y\rightarrow Z$ es un mapa cociente. Es un mapa continuo $f:X\rightarrow Z$ necesariamente la composición de un mapa continuo $g:X\rightarrow Y$ con $\pi$ ? ¿Y si $X,Y,Z$ son colectores suaves y sustituimos "continuo" por "suave"?

Answer 1

No. Deja que $X$ y $Z$ sean círculos y $Y=\mathbb{R}$ . Existe un mapa biyectivo continuo (y de hecho suave) $X \to Z$ pero no será un factor a través de $Y$ un mapa de un círculo a la recta real no puede ser inyectivo.

Answer 2

Definitivamente no. Tomar un grupo de mentiras $G$ y $H$ y pensamos que si podemos factorizar $G\to H$ a través de $G\to G/N$ para algún subgrupo normal $N$ entonces $\ker(G\to H)\subseteq N$ .

EDIT: Por supuesto, esto es incorrecto porque estaba pensando en grupos de Lie - el resultado que he afirmado es cierto si quieres que un mapa de grupo de Lie sea el mapa del factor. La idea básica es que esto no es cierto ni siquiera para los conjuntos. El mapa tiene que respetar las clases de equivalencia.