Polinomio que representa todos los enteros no negativos

Question

Lagrange demostró que todo entero no negativo es una suma de 4 cuadrados.

Gauss demostró que todo número entero no negativo es una suma de 3 números triangulares.

¿Existe un polinomio de 2 variables $f(x,y) \in \mathbf{Q}[x,y]$ tal que $f(\mathbf{Z} \times \mathbf{Z})=\mathbf{N}$ ?

Answer 1

¿Qué tal una pregunta alternativa: existe un polinomio $f\in\mathbb{Q}[x,y]$ con valores enteros en los puntos de la red, y de grado al menos dos en cada variable, tal que para cualquier primo $p$ el mapa $f:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ componiendo con $\mathbb{Z}\to\mathbb{F}_p$ es sobreyectiva? O, más concretamente, ¿existe un polinomio de grado dos de este tipo? La última parte no debería ser muy difícil, pero no sé cómo resolverla.

Answer 2

Si podemos hacer una función polinómica (de una sola variable) $g(x)$ de $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{N}$ podríamos componerlo con el Función de emparejamiento de Cantor pero tal $g(x)$ parece inverosímil por alguna razón...