Polinomio que representa todos los enteros no negativos

Question

Lagrange demostró que todo entero no negativo es una suma de 4 cuadrados.

Gauss demostró que todo número entero no negativo es una suma de 3 números triangulares.

¿Existe un polinomio de 2 variables $f(x,y) \in \mathbf{Q}[x,y]$ tal que $f(\mathbf{Z} \times \mathbf{Z})=\mathbf{N}$ ?

Answer 1

¡Este es un lindo problema! He jugado con él y no he llegado a ninguna parte; tengo la fuerte impresión de que requiere campos de las matemáticas en los que no soy experto.

De hecho, dado que el problema parece estar relacionado con el de contar soluciones enteras a la ecuación $f(x,y) = c$ En el caso de que el género sea 0 o 1, es posible que haya que utilizar herramientas de geometría aritmética (por ejemplo, el teorema de Faltings). En particular, si pudiéramos reducir al caso en que el género es sólo 0 o 1, entonces presumiblemente se podría acabar con el problema. (Una característica atractiva de este enfoque es que las magnitudes de la geometría aritmética, como el género, son automáticamente invariantes (creo) con respecto a los cambios de variable polinómicos invertibles como $(x,y) \mapsto (x,y+P(x))$ o $(x,y) \mapsto (x+Q(y),y)$ y por lo tanto parecen estar bien adaptados al problema en cuestión, mientras que los argumentos basados en el grado bruto del polinomio podrían no estarlo).

Por supuesto, el teorema de Faltings es ineficaz, y por lo tanto podría no ser directamente utilizable, pero tal vez alguna variante de la misma (en particular en relación con la dependencia de c) podría ser útil. [Además, es exagerado: controla las soluciones racionales, y aquí sólo nos interesan las enteras]. Sin embargo, esto está muy lejos de mi área de experiencia...

La otra cosa que se me ocurrió es que para c fijo y x, y grandes, se puede invertir la ecuación $f(x,y) = c$ para obtener una expansión en serie de Puiseux para y en términos de x o viceversa (esto parece estar relacionado con la resolución de singularidades en el infinito, aunque de nuevo no soy un experto en ese tema; ciertamente los politopos de Newton parecen estar involucrados). En algunos casos (si los exponentes de esta expansión en serie son favorables) se podrían utilizar argumentos de recuento de Arquímedes para demostrar que f no puede abarcar todos los números naturales (se trata de una generalización del argumento de recuento fácil que demuestra que un polinomio 1D de grado 2 o más no puede abarcar un conjunto de enteros de densidad positiva), pero no parece que esto funcione en todos los casos, y es posible que también haya que utilizar alguna maquinaria p-ádica para tratar los demás casos. Un argumento en contra de este enfoque es que no parece comportarse bien con respecto a los cambios de variable polinómicos invertibles, a menos que se trabaje mucho con invariantes geométricos.

En fin, para resumir, me parece que hay que sacar las herramientas de geometría aritmética y geometría algebraica. (También puede ser necesaria la geometría algebraica real, con el fin de explotar plenamente la positividad, aunque también es posible que la positividad sea en gran medida una pista falsa, necesaria para acabar con el caso de bajo género, pero no necesaria para el de alto género, excepto tal vez para garantizar que ciertos exponentes clave sean pares).

EDIT: Se me ocurrió que el polinomio $f(x,y)-c$ puede no ser irreducible, por lo que puede haber múltiples componentes de la curva algebraica asociada, cada uno con un género diferente, pero presumiblemente esto es algo que se puede tratar. Además, la geometría de esta curva puede degenerar para c especial, pero es presumiblemente estable para c "genérico" (o tal vez incluso para todos los c menos finitos).

También se me ocurre que un uso de la geometría algebraica real aquí es tratar de expresar f como algo así como una suma de cuadrados. Si hay al menos dos cuadrados no triviales en tal representación, entonces f sólo es pequeña cuando ambos factores cuadrados son pequeños, lo cual es un conjunto de 0 dimensiones y entonces uno puede ser capaz de usar argumentos de conteo para concluir que uno no tiene suficiente espacio para cubrir todos los números naturales (siempre que los factores sean suficientemente "no lineales"; si por ejemplo $f(x,y)=x^2+y^2$ entonces los argumentos de recuento apenas proporcionan un obstáculo, hay que usar argumentos mod p o algo así para acabar con él...)

EDITAR, CUATRO AÑOS DESPUÉS: Vale, ahora sé un poco más de geometría aritmética y puedo añadir algo a mis afirmaciones anteriores. En primer lugar, no es el teorema de Faltings el más relevante, sino Teorema de Siegel sobre puntos enteros en curvas - el enemigo parece ser esos puntos $(x,y)$ donde $x,y$ son mucho mayores que $f(x,y)$ y el teorema de Siegel es una de las pocas herramientas disponibles para excluir este caso. Las pruebas conocidas de este teorema se basan en dos familias de resultados en geometría diofantina: una es el teorema de Thue-Siegel-Roth y sus variantes (en particular el teorema del subespacio), y la otra es el teorema de Mordell-Weil y sus variantes (en particular el teorema de Chevalley-Weil). Un gran problema aquí es que todos estos teoremas tienen mucha ineficacia. Incluso para el caso muy concreto de La conjetura de Hall en el límite inferior $|x^2-y^3|$ para los enteros $x,y$ con $x^2 \neq y^3$ El teorema de Siegel implica que este límite va al infinito como $x,y \to \infty$ pero no proporciona ninguna tasa; según tengo entendido, los únicos límites inferiores conocidos son logarítmicos y provienen de variantes del método de Baker.

Así, un polinomio como $f(x,y) = (x^2 - y^3 - y)^4 - y + C$ para algunas grandes constantes C ya parece muy difícil de analizar. (He desplazado $y^3$ aquí por $y$ para evitar las soluciones degeneradas de $x^2=y^3$ y para evitar alguna forma barata de tratar este polinomio de la conjetura abc o algo así). El análogo de la conjetura de Hall para $|x^2-y^3-y|$ sugiere que $f(x,y)$ va a $+\infty$ como $x,y \to \infty$ (restringiendo $x,y$ para ser enteros), pero aquí no tenemos una tasa de crecimiento conocida debido a toda la ineficacia. Por tanto, no podemos descartar incondicionalmente la posibilidad de un número infinito de pares muy grandes $(x,y)$ para lo cual $x^2-y^3-y$ resulta estar tan cerca de $y^{1/4}$ que conseguimos acertar todos los valores enteros positivos en $f(x,y)$ sin dar ninguna negativa. Sin embargo, uno puede ser capaz de obtener un resultado condicional asumiendo alguna variante suficientemente fuerte de la conjetura abc. También se debería poder excluir grandes clases de polinomios $f$ de trabajar; por ejemplo, si la curva $f(x,y)=0$ se encuentra con la línea en el infinito en muchos puntos de manera transversal, entonces parece que el teorema del subespacio puede ser capaz de obtener límites polinómicos en las soluciones $(x,y)$ a $f(x,y)=c$ en términos de $c$ En ese momento se dispone de muchas otras herramientas (por ejemplo, la teoría de la equidistribución).

Otra pequeña adición a mis observaciones anteriores: la irreductibilidad genérica de $f(x,y)-c$ se deduce del segundo teorema de Bertini, ya que se puede reducir fácilmente al caso en que $f$ no es compuesto (no es la composición de dos polinomios de grado inferior).

Answer 2

La búsqueda dio como resultado un artículo de 1981 de John S.Lew (en el Problemas sin resolver sección)

• Polinomios en dos variables que toman valores enteros distintos en puntos de retícula

en el que se discuten problemas relacionados, y termina afirmando éste. Los problemas del autor son:

• Problema A. Clasificar las biyecciones $\mathbb N\times\mathbb N \to \mathbb N$ .
• Problema B. Clasificar las biyecciones $\mathbb Z\times\mathbb Z \to \mathbb Z$ .
• Problema C. Clasificar las proyecciones $\mathbb Z\times\mathbb Z \to \mathbb N$ .

Su principal conjetura es que las únicas soluciones a A son las de Cantor $x+ \frac12(x+y-1)(x+y-2)$ que aparentemente se remonta a la época de Polya. Lew afirma C independientemente de las observaciones empíricas.

Answer 3

¿Qué se puede decir de la siguiente pregunta más fuerte? Sea $f(x,y)\in \mathbf{Q}[x,y]$ tal que $f(\mathbf{Z}\times \mathbf{Z})$ es un subconjunto de $\mathbf{N}$ . Sea $g(n)$ sea el número de elementos de $f(\mathbf{Z}\times \mathbf{Z})\cap \lbrace 0,1,\dots,n\rbrace$ . ¿Qué tan rápido puede $g(n)$ ¿crecer? ¿Es siempre cierto que $g(n) =O(n/\sqrt{\log(n)})$ ? Si es cierto esto es lo mejor posible ya que si $f(x,y)=x^2+y^2$ entonces $g(n)\sim cn/\sqrt{\log(n)}$ .

Answer 4

Después de pensar un poco en este problema utilizando un enfoque más bien ingenuo, observando las regiones en las que f crece más rápido que de forma cuadrática (como se menciona en el intento de Qiaochu), parece ciertamente que obtener una respuesta negativa a este problema es muy difícil. Obtener una respuesta positiva podría ser más fácil, ya que sólo necesitamos exponer un único polinomio con $f(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z})=\mathbb{N}$ aunque, con toda probabilidad, no existen tales ejemplos. Sin embargo, incluso utilizando el enfoque ingenuo, rápidamente queda claro qué tipo de comportamiento podría llevar a un polinomio f a tener las propiedades requeridas. Los polinomios de grado inferior a cuatro pueden descartarse rápidamente. Entonces, suponiendo que f tiene un grado 2n, hay que mirar los términos de orden superior $f_{2n}$ que es un polinomio homogéneo de grado 2n. Lejos de los ceros de $f_{2n}$ crece a un ritmo $R^{2n}$ ( $R=\sqrt{x^2+y^2}$ ) y domina los términos de orden inferior, por lo que f no puede cubrir una densidad estrictamente positiva de los enteros. Las dificultades aparecen cuando nos acercamos a ciertas curvas que son asintóticas a los ceros de $f_{2n}$ (al ser homogéneo, los ceros de $f_{2n}$ se encuentran en un conjunto finito de líneas que irradian desde el origen). En tales curvas, $f_{2n}$ crecerá a un ritmo inferior a $O(R^{2n})$ y puede producirse la anulación con términos de orden inferior. Observar cuánta cancelación puede ocurrir parece llevar a problemas difíciles de aproximación diofantina.

Los tipos de polinomios que son candidatos plausibles para un mapeo polinómico sobre los enteros positivos son los siguientes. $$ f(x,y)=a\prod_{i=1}^d\left(x-\alpha_iy\right)^{2n} - q(x,y)\qquad\qquad{\rm(1)} $$ donde $\alpha$ es un entero real algebraico con un polinomio mínimo de grado $d > 2$ sobre los racionales y conjugados $\alpha_1,\cdots,\alpha_d$ , $a$ es un número entero positivo, y $q(x,y)$ es un polinomio de grado $2n(d-2)$ . Por Teorema de Dirichlet sabemos que hay infinitos enteros x,y tales que $\vert x/y-\alpha_i\vert < y^{-2}$ por lo que el término de primer orden de (1) es menor que algún múltiplo fijo de $R^{2n(d-2)}$ infinitamente a menudo. Así que habrá alguna cancelación con q. Por otro lado, por la Teorema de Thue-Siegel-Roth sabemos que $\vert x/y-\alpha\vert > y^{-2-\epsilon}$ para todas las x,y grandes, por lo que los términos de orden principal de (1) crecen al menos tan rápido como $O(R^{2n(d-2)-\epsilon})$ lo que, al menos, significa que (1) no puede ser negativo muy rápidamente. La pregunta entonces es si existe un número algebraico $\alpha$ tal que $\vert x/y-\alpha\vert\ge cy^{-2}$ para alguna constante positiva c y todos los enteros x,y? En ese caso, el término de orden principal de (1) estaría acotado por debajo por un múltiplo $R^{2n(d-2)}$ y q podría elegirse de forma que $f(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z})\subseteq\mathbb{N}$ . Es entonces posible, pero aún improbable, que (1) dé un mapeo polinómico sobre los enteros positivos. Buscando en mi copia de Hindry & Silverman (Diophantine Geometry, An Introduction) se menciona que es un problema abierto si existen tales números algebraicos (y no hay ejemplos o contraejemplos conocidos con $d > 2$ ) pero se conjetura que no los hay. Por tanto, parece poco probable que polinomios como (1) hagan lo que queremos, pero demostrarlo parece muy difícil. Por supuesto, que f cubra realmente $\mathbb{N}$ sería una declaración mucho más fuerte que $\vert x/y-\alpha\vert \ge cy^{-2}$ Así que, tal vez un experto en la materia podría descartar esos ejemplos, pero sigue pareciendo un problema muy complicado.

También podemos probar con polinomios como $$ f(x,y)=a\prod_{i=1}^d\left((x-\alpha_iy)^r-p(\alpha_i)y^s\right)^{2n} - q(x,y)\qquad\qquad{\rm(2)} $$ donde, ahora, p es un polinomio con coeficientes enteros,r,s son enteros positivos y q tiene grado menor que $2n$ . Esto es aún más difícil de tratar que (1) y el hecho de que tales polinomios puedan proporcionar lo que la pregunta pide depende de lo pequeños que sean $(x/y-\alpha)-p(\alpha)^{1/r}y^{s/r-1}$ puede ser. Esto también parece un problema muy difícil en la aproximación diofantina.

Por lo tanto, aunque espero que la respuesta a esto sea no, no existen tales $f$ Cualquier método para demostrar esto tiene que hacer frente a posibilidades como (1) y (2). Sólo estos dos casos parecen extremadamente difíciles de manejar. Sin embargo, tal vez sea posible, y un experto en estas áreas podría decir algo más que yo al respecto.

Answer 5

No lo creo (pero no he comprobado muy bien este argumento):

En primer lugar, afirmamos que cualquier $f$ tiene grado dos. Es evidente que el término principal de $f$ no puede ser impar, así que supongamos por contradicción que $f$ tiene grado al menos cuatro. Elige una constante $R$ lo suficientemente grande como para que en la región $D_1$ que consiste en puntos que satisfacen $|x|, |y| \ge R$ existe una constante $c$ tal que $f(x, y) \ge c \text{ min}(|x|, |y|)^4$ . ( Editar: Esto no siempre es posible, pero creo que se puede salvar). Entonces no es difícil ver que $\sum_{D_1} \frac{1}{f(x, y)}$ converge. Pero $D_2 = \mathbb{Z}^2 - D_1$ puede dividirse en $4R - 2$ líneas no necesariamente disjuntas en las que uno de $x$ o $y$ es fijo. En cualquiera de estas regiones $f$ no puede ser lineal, por lo que o bien crece al menos cuadráticamente o es una constante; podemos ignorar las líneas en las que $f$ es constante. De ello se desprende que $\sum_L \frac{1}{f(x, y)}$ converge para cualquier línea $L$ en el que $f$ no es constante, por lo que $\sum \frac{1}{f(x, y)}$ converge si sumamos sobre cada punto de $\mathbb{Z}^2$ excepto las líneas en las que $f$ es constante. Dado que sólo hemos desechado un número finito de valores de $f$ en esta suma, esos valores no pueden contener todos los enteros positivos.

Pero si $f$ es cuadrática, es una constante más la suma de cuadrados de dos polinomios con coeficientes racionales y hay muchos enteros no representables como la suma de cuadrados de dos números racionales.