¿Cuál es la interpretación geométrica del método de exactas ecuaciones diferenciales?

Question

Dada una ecuación en la forma $M(x)dx + N(y)dy = 0$ nos prueba que la derivada parcial de $M$ con respecto al $y$ es igual a la derivada parcial de $N$ con respecto al $x$. Si son iguales, entonces la ecuación es exacta. ¿Cuál es la interpretación geométrica de este?

Más allá de resolver la ecuación podemos integrar a $M(x) dx$ o $N(y)dy$, lo que nos gusta más, y, a continuación, añadir una constante como una función en términos de la constante de la variable de resolver esto.

por ejemplo, Si $f(x) = 3x^2$$F(x) = x^3 + g(y)$.

Después tenemos a nuestros integral, se define su diferenciales en derivadas parciales con respecto a la otra variable nuestros otros derivados y resolver para $g(y)$. He hecho toda la tarea correctamente, pero no tengo ni idea de por qué estoy haciendo estos pasos. ¿Cuál es la interpretación geométrica de este segundo método, y cómo funciona?

Answer 1

Gran pregunta. La idea es que el $(M(x), N(y))$ define un campo vectorial, y la condición de la que estamos comprobando es equivalente (en $\mathbb{R}^2$) para el campo de vectores de ser conservador, es decir, el gradiente de alguna función escalar $p$ llamado el potencial. Físicos comunes ejemplos de conservador campos vectoriales incluyen gravitatorio y el campo eléctrico, donde $p$ es la gravitacional o potencial eléctrico.

Geométricamente, ser conservador es equivalente a la curvatura de fuga. También es equivalente a la condición de que las integrales de línea entre dos puntos depende sólo de los puntos de inicio y fin y no sólo en el camino elegido. (La conexión entre este y el curl es Verde del teorema.)

La ecuación diferencial $M(x) \, dx + N(y) \, dy = 0$ es equivalente a la condición de que $p$ es una constante, y como esto no es una ecuación diferencial es mucho más fácil la condición para trabajar con. El análogo de una variable declaración es que $M(x) \, dx = 0$ es equivalente a $\int M(x) \, dx = \text{const}$. Geométricamente, las soluciones a $M(x) \, dx + N(y) \, dy = 0$ son por tanto las curvas de nivel de la potencial, que son siempre ortogonales a su gradiente. El más conocido ejemplo de este es probablemente el diagrama del campo eléctrico y las curvas de nivel de la potencial electrostático alrededor de un dipolo. Esta es una forma de interpretar la expresión de $M(x) \, dx + N(y) \, dy = 0$; es equivalente a la "producto escalar" de $(M(x), N(y)$ $(dx, dy)$ cero, donde se debe pensar en los $(dx, dy)$ como ser un desplazamiento infinitesimal a lo largo de una curva de nivel.

(Para los que saben, estoy ignorando la distinción entre campos vectoriales y de 1-formas y también la distinción entre formas cerradas y las formas exactas.)