Problemas para encontrar la derivada de $\frac{4}{\sqrt{1-x}}$

Question

He estado intentando averiguar cómo diferenciar esta expresión, al parecer no conozco las reglas de diferenciación tanto como pensaba. He tratado de usar Wolfram Alpha como guía pero estoy perdido.

Necesito diferenciar $$\frac{4}{\sqrt{1-x}}$$

Primero saco los cuatro para que el problema se convierta: $$4 * \frac{1}{\sqrt{1-x}}$$

No sé qué hacer a continuación, ¿utilizo la regla del cociente? Wolfram alpha me está dando respuestas disparatadas, agradecería que alguien me guiara paso a paso. Gracias.

Answer 1

En este caso (como en muchos otros), a pesar de que se trabaja con un cociente, la regla del cociente no es necesaria porque se puede reescribir la función de una manera conveniente como se puede ver a continuación.

$$\begin{align*}\frac{d}{dx}\left[\frac{4}{\sqrt{1-x}}\right]&=4\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{\sqrt{1-x}}\right]&\text{ (basic rule)}\\ \\ &=4\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{(1-x)^{1/2}}\right]&\text{ (rewrite because it's convenient)}\\ &=4\frac{d}{dx}\left[(1-x)^{-1/2}\right]&\text{ (rewrite again)}\\ \\ &=4\left(-\frac{1}{2}(1-x)^{-3/2}\right)\cdot\frac{d}{dx}[1-x]&\text{ (chain rule)}\\ \\ &=-\frac{2}{(1-x)^{3/2}}\cdot(-1)&\text{ (rewrite + baisc rule)}\\ \\ &=\frac{2}{\sqrt{(1-x)^3}}&\text{ (rewrite)}\\ \end{align*}$$

Answer 2

Un poco más de detalle de lo que pedías, pero espero que deje claro el problema:

Al diferenciar $(f(x))^r$ terminas con $rf(x)^{r-1}f'(x)$ . Para ver por qué, trabaja en lo siguiente:

$$y=f(x)^r\\ \ln(y)=r\ln(f(x))$$

Ahora diferenciar ambos lados:

$$(1/y)\frac{dy}{dx}=\frac{r}{f(x)}f'(x)$$

Así que $\frac{dy}{dx}=\frac{ry}{f(x)}f'(x)=rf'(x)f(x)^{r-1}$ cuando se sustituye la expresión por $y$ de nuevo.

Así que su pregunta se reduce a : $4\frac{d}{dx}(1-x)^{-1/2}=4(-1/2)(1-x)^{-3/2}(-1)=\frac{2}{(1-x)^{3/2}}$ .

Answer 3

Una pista general: $\sqrt{f(x)} = f(x)^{\frac{1}{2}}$ y comportarse como $x^r$ .

Answer 4

Dejemos que $f(x) = 4(1-x)^{-\frac{1}{2}}$ .

Entonces tenemos $f'(x) = \frac{df(x)}{dx} = 4 \times (-\frac{1}{2}) \times (-1) \times (1-x)^{-\frac{3}{2}} = 2(1-x)^{-\frac{3}{2}}$ .

Y hemos terminado.