Dos funciones continuas y abiertas comúnmente utilizadas para la estructura del espacio vectorial

Question

Dejemos que $(X,\|\;\|)$ sea un espacio vectorial normado sobre $K\;(\Bbb R\text{ or}\;\Bbb C)$ . Definamos dos funciones: $$\oplus:X\times X\to X\;\text{s.t.}\;\oplus((x,y))=x+y\;\;\forall (x,y)\in X\times X\\ \odot:K\setminus\{0\}\times X\to X\;\text{s.t.}\;\odot((a,x))=ax\;\;\forall (a,x)\in K\setminus\{0\}\times X$$

Quiero demostrar que $\oplus\;\text{and}\;\odot$ son funciones continuas y abiertas:

Ya he demostrado que ambas funciones son continuas tomando cualquier secuencia que converja a un elemento en su respectivo dominio y mostrando que la función-secuencia converge a la función del límite. Entonces definí $\|\;\|_{X^2}:X\times X\to X$ s.t. $\|(x,y)\|_{X^2}=\|x\|+\|y\|$ que es claramente una norma en $X\times X$ y demostró que $\oplus$ está abierto.

Donde estoy atascado es tratando de probar que $\odot$ está abierto, ya que no pude definir una norma en $K\setminus\{0\}\times X$ ni probar es un espacio vectorial, empecé por tomar cualquier conjunto abierto $A\subseteq X\times X$ s.t. $A\neq\emptyset$ así que $$\forall (x,y)\in A\;\exists B_{xy}\subset A\;\text{s.t.}\;\ (x,y)\in B_{xy}\;\text{and}\;\ B_{xy}\;\text{is open}\\ \Rightarrow A=\bigcup_{(x,y)\in A}B_{xy}\\ \Rightarrow \odot(A)=\bigcup_{(x,y)\in A}\odot(B_{xy})$$ Pero me quedé atascado aquí ya que no sé mucho sobre $\odot(B_{xy})$ . Cualquier idea será apreciada.

Answer 1

Definición de $d_{KX}:K\setminus\{0\}\times X\to K$ como $$d_{KX}((a,x),(b,y))=|a-b|+\|x-y\|_X\;\;\forall (a,x),(a,y)\in K\setminus\{0\}\times X$$ es claramente que $\ d_{KX}$ es una métrica. Por lo tanto, una vecindad de $(a_0,x_0)$ en $\;K\setminus\{0\}\times X\;$ será $B_r(a_0,x_0)=\{(b,y)\in K\setminus\{0\}\times X:d_{KX}((b,y),(a_0,x_0))<r\}$ .

Por lo tanto, dejemos que $A$ sea cualquier subconjunto abierto y no vacío de $K\setminus\{0\}\times X$ . Quiero demostrar que $\odot (A)$ está abierto (en $X$ ).

Dejemos que $y\in\odot (A)\Rightarrow (1,y)\in A$ ya que $\odot (1,y)=y$ . Y como $A$ está abierto tenemos que $\exists r_0>0$ s.t. $B_{r_0}(1,y)\subset A$ .

Así, tomando $r_y=r_0$ lo entendemos: $$\;\forall x\in B_{r_y}^X(y),\;\;d_{KX}((1,x),(1,y))=\|x-y\|_X<r_y=r_0$$ $$\Rightarrow (1,x)\in B_{r_0}(1,y)\Rightarrow (1,x)\in A\;\text{and}\;\odot (1,x)=x\Rightarrow x\in\odot (A)$$ así $$B_{r_y}^X(y)\subset\odot (A)$$ y, dado que esto sucede para cada $y\in\odot (A)$ Así pues, el $\odot (A)$ está abierto y por lo tanto $\odot$ está abierto.