Puede haber dos distintas, funciones continuas que son iguales en todos los racionales?

Question

Akhil mostró que la Cardinalidad del conjunto de los reales de funciones continuas es el mismo que el continuo, utilizando como un paso de la observación de que las funciones continuas que están de acuerdo en puntos racionales deben estar de acuerdo en todas partes, desde los racionales son densos en los reales.

Esto no es un paso obvio, entonces, ¿por qué es verdad?

Answer 1

Sin tener que recurrir a ε-δ argumentos: Dejar que $f$ y $g$ ser continua funciones reales y $f(x) = g(x)$ para todo racional de $x$. Para cualquier número real $c$ (en particular, un irracional $c$), existe una secuencia de Cauchy de números racionales tales que $\lim_{n \to \infty}x_{n}=c$. Dado que $f$ y $g$ es continuo, $\lim_{n \to \infty}f({x_{n}})=f({c})$ y $\lim_{n \to \infty}g({x_{n}})=g({c})$. Desde $x_n$ es racional, $f(x_n) = g(x_n)$ para todo $n$, por lo que los dos límites deben ser iguales y por lo que $f(c) = g(c)$ para todo real $c$.

Answer 2

Y una prueba más de que, mediante el topológica de la noción de continuidad: Supongamos por contradicción que existe alrededor de $x$ $f(x)-g(x) = k \neq 0$. Dado que $f$ y $g$ es continuo, $f-g$ es continua, por lo que debemos tener que $f(x) - g(x) \neq 0$ en un no-vacío conjunto abierto $S$ desde el inverso de la imagen de el intervalo abierto $(3k/2, k/2)$ debe estar abierto. Pero desde que los racionales son densos en los reales, $S$ debe contener un número racional $y$, $f(y) \neq g(y)$, una contradicción.

Answer 3

Si hay dos funciones continuas de $f(x)$ y $g(x)$ que fueron iguales en todos los racionales, entonces (debido a que los racionales son densos) podemos demostrar que $\lim_{x \a} f(x) - g(x) = 0$ para todos los valores de $a$ el uso de un delta, epsilon prueba.

Ya que la diferencia de dos funciones continuas es continua, se sabe que $\lim_{x \a} f(x) - g(x) = f(a) - g(a)$ para todo $a$, y por lo tanto $f(a) - g(a) = 0$ y $f(x) = g(x)$, lo que demuestra que $f$ y $g$ deben ser idénticos.

Answer 4

Esbozo de una alternativa de la prueba.

En primer lugar, recordemos (o ver por primera vez) el siguiente hecho:

Dada una función continua $h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, el conjunto $K_h := \{x \in \mathbb{R}: h(x) = 0\}$ es cerrado.

"Recordando" este hecho podría parecer como barrer detalles debajo de la alfombra; de hecho, es el Ejercicio de $4.3.7$ en Stephen Abbott introductorio del libro de texto la Comprensión de Análisis.

Sin embargo, uno puede entonces proceder de la siguiente manera:

Deje que $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es continuo, con un valor real de las funciones que están de acuerdo en $\mathbb{Q}$.

Además, permitir a los $h = f - g$. Entonces $h$ es la diferencia de funciones continuas, por lo tanto continua de sí mismo; ahora podemos usar el hecho de arriba a la conclusión de que $\mathbb{Q} \subconjunto K_h \subconjunto \mathbb{R}$.

En particular, $K_h$ es un conjunto cerrado de los números reales que contiene $\mathbb{Q}$.

Estamos dado que los racionales son densos en los reales, es decir, $cl(\mathbb{Q}) = \mathbb{R}$.

Por lo tanto, $K_h = \mathbb{R}$, lo que significa que para todo $x \in \mathbb{R}$, tenemos $h(x) = 0$.

Por la definición de $h$, esto significa que para todo $x \in \mathbb{R}$ tenemos $f(x) - g(x) = 0$, es decir, $f(x) = g(x)$.

Esta "prueba" el resultado deseado. QED

N. B. El problema que se plantea aquí es también en Abbott del texto: es el Ejercicio de $4.3.8(b)$.