Tengo una muestra grande (un vector) $\mathbf{x}$ de una variable aleatoria $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ . La varianza $\sigma^2$ es conocida, pero la expectativa $\mu$ es desconocido. Me gustaría probar la hipótesis nula $H_0\colon \ \mu\leq 0$ contra la alternativa $H_1\colon \ \mu>0$ utilizando una prueba de razón de verosimilitud (LR). La estadística de la prueba es $$ \text{LR}=-2\ln\frac{L(\mathbf{x}\mid\tilde\mu,\sigma^2)}{L(\mathbf{x}\mid\hat\mu,\sigma^2)}. $$ donde $\tilde\mu$ es la estimación de $\mu$ en $H_0$ (así $\tilde\mu\leq 0$ ) y $\hat\mu$ es la estimación de $\mu$ en $H_0 \cup H_1$ (así $\hat\mu\in R$ ).
Esperaba que la distribución asintótica de $\text{LR}$ en $H_0$ para ser $\chi^2(1)$ pero estoy obteniendo sólo ceros en una simulación de abajo.
Preguntas: ¿Por qué? ¿Está mal mi simulación? ¿O es que la estadística de prueba no debe tener la $\chi^2(1)$ distribución asintótica bajo $H_0$ y si es así, ¿por qué?
(Pregunta relacionada: "No obtener $\chi^2(1)$ distribución asintótica bajo $H_0$ en una prueba de razón de verosimilitud: ejemplo 1" )
n=1e3 # sample size
sigma=1 # standard deviation of X
m=3e3 # number of simulation runs
mu=-1 # particular instance of the null hypothesis used in the simulation
logL0s=logL1s=logLRs=rep(NA,m)
for(i in 1:m){
set.seed(i); x=rnorm(m,mean=mu,sd=sigma)
logL0=sum(log( dnorm(x,mean=min(0,mean(x)),sd=sigma) ))
logL1=sum(log( dnorm(x,mean=max(0,mean(x)),sd=sigma) ))
logLR =-2*(logL0-max(logL0,logL1)) # the -2*ln(LR) statistic from this simulation run
logL0s[i]=logL0; logL1s[i]=logL1; logLRs[i]=logLR
}
summary(logLRs)
