Cálculo de límites complicado

Question

Encuentra el límite de $$\left[(x^m + 1)^{1/n} - (x^m - 1)^{1/n}\right]x^{(mn-m)/n}$$ cuando $x\to\infty$ y $m,n$ son números naturales.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Una forma aún más rápida de llegar a la respuesta proviene de observar que

$$\left( x^m + 1 \right)^{\frac{1}{n}} - \left( x^m - 1 \right)^{\frac{1}{n}} = x^{\frac{m}{n}} \left[ \left( 1 + \frac{1}{x^m} \right)^{\frac{1}{n}} - \left(1 - \frac{1}{x^m} \right)^{\frac{1}{n}} \right]$$

$$ \approx x^{\frac{m}{n}} \left[ \left( 1 + \frac{1}{nx^m} \right) - \left(1 - \frac{1}{nx^m} \right) \right]$$

$$ = \frac{2x^{\frac{m}{n}}}{nx^m} $$

El valor $2/n$ se deduce del factor del lado derecho de la expresión original.

Answer 2

Primero, observa que $$\lim_{x\to +\infty}\left[(x^m + 1)^{1/n} - (x^m - 1)^{1/n}\right]x^{(mn-m)/n} =\lim_{x\to +\infty}x^{\frac mn}\left[(1 + \frac1{x^m})^{1/n} - (1- \frac1{x^m})^{1/n}\right]x^{(mn-m)/n}= \lim_{x\to +\infty}\left[(1+ \frac1{x^m})^{1/n} - (1- \frac1{x^m})^{1/n}\right]x^{m} $$ Ahora, dado que $$\alpha^{1/n}-\beta^{1/n}=\frac{\alpha-\beta}{\alpha^{{(n-1)}/n}+ \alpha^{{(n-2)}/n}\beta+...+\alpha\beta^{{(n-2)}/n}+\beta^{{(n-1)}/n}}$$ el límite se convierte en $$\lim_{x\to +\infty}\left[\frac{1+ \frac1{x^m}- 1+ \frac1{x^m}}{(1+ \frac1{x^m})^{{(n-1)}/n}+...+(1+ \frac1{x^m})^{{(n-1)}/n}}\right]x^m= \lim_{x\to +\infty}\left[\frac{2}{(1+ \frac1{x^m})^{{(n-1)}/n}+...+(1+ \frac1{x^m})^{{(n-1))/n}}\right]$$ El denominador tiende a $1+1+...+1=n$ por lo tanto $$\lim_{x\to +\infty}\left[\frac2{(1+ \frac1{x^m})^{{(n-1)}/n}+...+(1+ \frac1{x^m})^{{(n-1)}/n}}\right]=\frac2n$$

Answer 3

Sustituye $y=x^m$. Entonces después de reorganizar, el límite es el siguiente:

$$\lim_{y\to\infty}y\,((1+y^{-1})^{1/n}-(1-y^{-1})^{1/n}).$$

Luego

• por Taylor, $$\lim_{y\to\infty}y\,\left(1+\frac{y^{-1}}n-1+\frac{y^{-1}}n+o(y^{-1})\right)=\frac2n,$$

• o multiplicando por el multinomio conjugado

$$\lim_{y\to\infty}y\frac{1+y^{-1}-1+y^{-1}}{\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(1+y^{-1})^{k/n}}=\frac2n,$$

• o por L'Hospital con la variable $y^{-1}$,

$$\lim_{y\to\infty}\frac{(1+y^{-1})^{1/n}-(1-y^{-1})^{1/n}}{y^{-1}}=\lim_{y\to\infty}\frac{(1+y^{-1})^{1/n-1}+(1-y^{-1})^{1/n-1}}n=\frac2n.$$